Question

（2013•廣州一模）已知橢圓C₁的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F₁（-2，0），F(xiàn)₂（2，0），點(diǎn)A（2，3）在橢圓C₁上，過點(diǎn)A的直線L與拋物線C2：x2=4y交于B、C兩點(diǎn)，拋物線C₂在點(diǎn)B，C處的切線分別為l₁，l₂，且l₁與l₂交于點(diǎn)P．
（1）求橢圓C₁的方程；
（2）是否存在滿足|PF₁|+|PF₂|=|AF₁|+|AF₂|的點(diǎn)P？若存在，指出這樣的點(diǎn)P有幾個(gè)（不必求出點(diǎn)P的坐標(biāo)）；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）利用橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)即可得出；
（2）設(shè)出點(diǎn)B，C的坐標(biāo)，利用A，B，C三點(diǎn)共線即可得出坐標(biāo)之間的關(guān)系，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得切線的斜率，在得出切線的方程，即可得出交點(diǎn)P的坐標(biāo)代人上面得到的關(guān)系式即可得到交點(diǎn)P的軌跡方程．由|PF₁|+|PF₂|=|AF₁|+|AF₂|，則點(diǎn)P在橢圓C₁上，而點(diǎn)P又在直線y=x-3上，直線經(jīng)過橢圓C₁的內(nèi)部一點(diǎn)（3，0），即可判斷出其交點(diǎn)個(gè)數(shù)．

解答：解：（1）設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，
由題意可得

22 a2 + 32 b2 =1 a2=b2+4

解得

a2=16 b2=12

．
∴橢圓C₁的方程為

x2

16

+

y2

12

=1；
（2）設(shè)點(diǎn)B(x1，

1

4

x

2 1

)，C(x2，

1

4

x

2 2

)，則

BC

=(x2-x1，

1

4

(

x

2 2

-

x

2 1

))，

BA

=(2-x1，3-

1

4

x

2 1

)，
∵A，B，C三點(diǎn)共線，∴

BC

∥

BA

．
∴(x2-x1)(3-

1

4

x

2 1

)=

1

4

(

x

2 2

-

x

2 1

)(2-x1)，化為2（x₁+x₂）-x₁x₂=12．①
由x²=4y，得y′=

1

2

x．∴拋物線C₂在點(diǎn)B處的切線方程為y-

1

4

x

2 1

=

x1

2

(x-x1)，化為y=

x1

2

x-

1

4

x

2 1

．②
同理拋物線C₂在點(diǎn)C處的切線方程為y=

x2

2

x-

1

4

x

2 2

．③
設(shè)點(diǎn)P（x，y），由②③得

x1

2

x-

1

4

x

2 1

=

x2

2

x-

1

4

x

2 2

，而x₁≠x₂，∴x=

1

2

(x1+x2)．
代人②得y=

1

4

x1x2，于是2x=x₁+x₂，4y=x₁x₂代人①得4x-4y=12，即點(diǎn)P的軌跡方程為y=x-3．
若|PF₁|+|PF₂|=|AF₁|+|AF₂|，則點(diǎn)P在橢圓C₁上，而點(diǎn)P又在直線y=x-3上，直線經(jīng)過橢圓C₁的內(nèi)部一點(diǎn)（3，0），
∴直線y=x-3與橢圓C₁有兩個(gè)交點(diǎn)，
∴滿足|PF₁|+|PF₂|=|AF₁|+|AF₂|的點(diǎn)P有兩個(gè)（不同于點(diǎn)A）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查橢圓、拋物線曲線的切線等基礎(chǔ)知識(shí)，考查數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程、化歸于轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)方法，以及推理論證能力、計(jì)算能力、創(chuàng)新意識(shí)．