Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系xoy中，已知“葫蘆”曲線C由圓弧C₁與圓弧C₂相接而成，兩相接點(diǎn)M，N均在直線y=-上．圓弧C₁所在圓的圓心是坐標(biāo)原點(diǎn)O，半徑為r₁=2；圓弧C₂過點(diǎn)A（0，-6）．
（Ⅰ）求圓弧C₂的方程；
（Ⅱ）已知直線l：mx-y-3=0與“葫蘆”曲線C交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)．當(dāng)|EF|=4+4時(shí)，求直線l的方程．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）根據(jù)條件確定圓弧C₂對應(yīng)的圓心和半徑即可．（Ⅱ）
解答：解：（Ⅰ）因?yàn)閳A弧C₁所在圓的圓心是坐標(biāo)原點(diǎn)O，半徑為r₁=2，所以BM=．
所以M（-），N（），
設(shè)圓弧C₂的圓心為（0，b），b＜0，半徑為r．
則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x²+（y-b）²=r²，
則因?yàn)閳A弧C₂過點(diǎn)N（）和A（0，-6），
所以，解得b=，r=3，
所以圓弧C₂的方程為．
（Ⅱ）直線mx-y-3=0過圓弧C₂的圓心，因?yàn)閳A弧C₂的直徑為6≤4+4，所以直線與兩個(gè)圓分別相交．

設(shè)圓弧C₂的圓心為D，設(shè)F（x，y），則DE=3，所以DF=EF-DE=4+4-3=4+．
則，
即，
因?yàn)閤²+y²=4，所以，即6，
解得y=，代入x²+y²=4，解得x=，
即F（）或（-），
所以代入直線mx-y-3=0，解得m=2或-2．
所以直線方程為：2x-或2x+．
點(diǎn)評：本題主要考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的求法以及直線與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，綜合性較強(qiáng)，運(yùn)算量較大，考查學(xué)生的運(yùn)算能力．