如圖,在△ABC中,∠ABC=45°,∠BAC=90°,AD是BC上的高,沿AD把△ABD折起,使∠BDC=90°.
(1)若E,F(xiàn)分別為 AB,AC的中點(diǎn),求證:EF∥平面BDC;
(2)證明:平面ADB⊥平面BDC;
(3 )設(shè)BD=1,求三棱錐D-ABC的表面積.
分析:(1)利用三角形中位線定理,可得EF∥BC,結(jié)合線面平行的判定定理,可證出EF∥平面BDC;
(2)由CD與AB、AD兩條相交直線垂直,得到CD⊥平面ADB,再根據(jù)平面ADC經(jīng)過平面ADB的垂線,可得平面ADB⊥平面BDC;
(3)根據(jù)題意不難得到該三棱錐有三個(gè)面是全等的等腰直角三角形,另一個(gè)面是等邊三角形,由此結(jié)合BD=1即可得到三棱錐D-ABC的表面積.
解答:解:(1)在右圖中,因?yàn)椤鰽BC中,E、F分別為 AB、AC的中點(diǎn),.
∴EF∥BC
∵EF?平面BDC,BC?平面BDC,
∴EF∥平面BDC;
(2)∵左圖中,AD是等腰Rt△ABC斜邊BC的中線
∴CD⊥AD,在右圖中依然成立
又∵右圖中,CD⊥BD,AD、BD是平面ABD內(nèi)的相交直線
∴CD⊥平面ADB
∵CD?平面BDC,∴平面ADB⊥平面BDC;
(3)由(2)知,AD、BD、CD兩兩垂直
∵BD=1,∴AD=BD=CD=1
∴三角形ADC的面積S△ADC=
1
2
×AD×CD=
1
2
,
同理可得S△BDC=S△ABD=
1
2

∵Rt△ADC中,AC=
AD2+CD2
=
2
,同理可得AB=BC=
2

∴△ABC是邊長(zhǎng)為
2
的等邊三角形,面積為S△ABC=
3
4
×(
2
)
2
=
3
2

由此可得三棱錐D-ABC的表面積為:S△ADC+S△BDC+S△ABD+S△ABC=
3+
3
2
點(diǎn)評(píng):本題以等腰直角三角形沿斜邊上的高折疊為例,考查了線面平行的判定、面面垂直的判定和幾何體的表面積求法等知識(shí)點(diǎn),屬于基礎(chǔ)題.
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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,在△ABC中,已知∠ABC=90°,AB上一點(diǎn)E,以BE為直徑的⊙O恰與AC相切于點(diǎn)D,若AE=2cm,
AD=4cm.
(1)求:⊙O的直徑BE的長(zhǎng);
(2)計(jì)算:△ABC的面積.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,在△ABC中,D是邊AC上的點(diǎn),且AB=AD,2AB=
3
BD,BC=2BD,則sinC的值為(  )
A、
3
3
B、
3
6
C、
6
3
D、
6
6

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,在△ABC中,設(shè)
AB
=a
,
AC
=b
,AP的中點(diǎn)為Q,BQ的中點(diǎn)為R,CR的中點(diǎn)恰為P.
(Ⅰ)若
AP
=λa+μb
,求λ和μ的值;
(Ⅱ)以AB,AC為鄰邊,AP為對(duì)角線,作平行四邊形ANPM,求平行四邊形ANPM和三角形ABC的面積之比
S平行四邊形ANPM
S△ABC

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,在△ABC中,∠B=45°,D是BC邊上的一點(diǎn),AD=5,AC=7,DC=3.
(1)求∠ADC的大小;
(2)求AB的長(zhǎng).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,在△ABC中,已知
BD
=2
DC
,則
AD
=(  )

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