Question

在等比數(shù)列{a_n}中，首項(xiàng)為a₁，公比為q，S_n表示其前n項(xiàng)和．若a1=a∈[

1

2010

，

1

1949

]，

S6

S3

=9，記數(shù)列{log₂a_n}的前n項(xiàng)和為T_n，當(dāng)n=

 

時(shí)，T_n有最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,等比數(shù)列的性質(zhì)

專題：計(jì)算題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：若q=1，則

S6

S3

=2≠9，與題設(shè)矛盾；若q≠1，則

S6

S3

=1+q³，故有1+q³=9，解得q=2．所以a_n=a•2^n-1，可知log₂a_n=n-1+log₂a．由此入手能夠推導(dǎo)出當(dāng)n=11時(shí)，T_n有最小值．

解答： 解：若q=1，則

S6

S3

=2≠9，
與題設(shè)矛盾，此情況不存在；
若q≠1，則

S6

S3

=1+q³，
故有1+q³=9，解得q=2．
所以a_n=a•2^n-1，可知log₂a_n=n-1+log₂a．
所以數(shù)列{log₂a_n}是以log₂a為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列．
令log₂a_n≤0，即n-1+log₂a≤0?n≤1-log₂a．
因?yàn)?span id="4oh90ih" class="MathJye">a1=a∈[

1

2010

，

1

1949

]，
所以log₂a∈[-log₂2010，-log₂1949]，
即得1-log₂a∈[1+log₂1949，1+log₂2010]，
可知滿足log₂a_n≤0的最大的n值為11．
所以，數(shù)列{log₂a_n}的前11項(xiàng)均為負(fù)值，
從第12項(xiàng)開始都是正數(shù)．因此，當(dāng)n=11時(shí)，T_n有最小值．
故答案為：11．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的性質(zhì)和應(yīng)用，解題時(shí)要注意公式的合理運(yùn)用．