Question

設(shè)數(shù)列{a_n}是以(

x

-

1

x

)6展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)為首項(xiàng)，并且以橢圓3x²+4y²-6x-9=0的離心率為公比的無(wú)窮等比數(shù)列，

lim

n→∞

(a1+a2+…+an)為

-40

．

Answer 1

分析：利用二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式求出a₁=-20，再求出橢圓的離心率為

1

2

，求出此等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，利用數(shù)列極限的運(yùn)算法則求出結(jié)果．

解答：解：∵(

x

-

1

x

)6展開(kāi)式的通項(xiàng)T_r+1=C₆^r 

x

6-r (-

x

)-r=(-1)r

C

6 r

 x

6-2r

2

，
令r=3 可得常數(shù)項(xiàng)為-20，即a₁=-20．
 橢圓3x²+4y²-6x-9=0即

(x-1)2

4

+

y2

3

=1，離心率為

1

2

，故數(shù)列{a_n} 的公比的等于

1

2

．
此等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為 a₁+a₂+…+a_n=

-20[1-( 1 2 )n]

1- 1 2

=-40（1-

1

2n

 ）．
∴

lim

n→∞

(a1+a2+…+an)=

lim

n→∞

-40( 1-

1

2n

)=-40，
故答案為：-40．

點(diǎn)評(píng)：本題考查求二項(xiàng)式展開(kāi)式的某項(xiàng)的系數(shù)，橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)，等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，以及數(shù)列極限的運(yùn)算法則，求出 a₁+a₂+…+a_n=-40（1-

1

2n

 ），是解題的關(guān)鍵和難點(diǎn)．