Question

設(shè)，   ．

（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在處的切線方程；

（2）如果存在，使得成立，求滿足上述條件的最大整數(shù)；

（3）如果對(duì)任意的，都有成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

【解析】（1）求出切點(diǎn)坐標(biāo)和切線斜率，寫(xiě)出切線方程；（2）存在，轉(zhuǎn)化解決；（3）任意的，都有成立即恒成立，等價(jià)于恒成立

 

Answer 1

【答案】

：（1）當(dāng)時(shí)，，，，，

所以曲線在處的切線方程為；         4分

（2）存在，使得成立， 

		遞減	極（最）小值	遞增

等價(jià)于：，

考察，

，

 

 

 

 

 

由上表可知：，

，

所以滿足條件的最大整數(shù)；                         8分

3）當(dāng)時(shí)，恒成立，等價(jià)于恒成立，

記，，   。

記，，由于，

,   所以在上遞減，又h^/（1）=0，

當(dāng)時(shí)，，時(shí)，，

即函數(shù)在區(qū)間上遞增，在區(qū)間上遞減，

所以，所以。                 12分

（3）另解：對(duì)任意的，都有成立

等價(jià)于：在區(qū)間上，函數(shù)的最小值不小于的最大值，

  由（2）知，在區(qū)間上，的最大值為。

，下證當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上，函數(shù)恒成立。

當(dāng)且時(shí)，，

記，，  

當(dāng)，；當(dāng)，

，

所以函數(shù)在區(qū)間上遞減，在區(qū)間上遞增，

，即，    

所以當(dāng)且時(shí)，成立，

即對(duì)任意，都有。