Question

設(shè)函數(shù)f（x）=sinxcos（x+

π

3

）+

3

4

，x∈R．
（Ⅰ）求f（x）的最大值及最小正周期；
（Ⅱ）討論f（x）在區(qū)間[0，

π

2

]上的單調(diào)性．

Answer 1

考點：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,正弦函數(shù)的圖象

專題：三角函數(shù)的求值,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（Ⅰ）首先通過關(guān)系式的恒等變換，變形呈正弦型函數(shù)，進一步求出最小正周期和最值．
（Ⅱ）利用整體思想確定單調(diào)區(qū)間．

解答： 解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）=sinx（

1

2

cosx-

3

2

sinx）+

3

4

=

1

4

sin2x-

3

2

•

1-cos2x

2

+

3

4

=

1

2

sin（2x+

π

3

），
∴f（x）的最大值為

1

2

，最小正周期為π．
（Ⅱ）0≤x≤

π

2

所以：

π

3

≤2x+

π

3

≤

4π

3

當

π

3

≤2x+

π

3

≤

π

2

即0≤x≤

π

12

，函數(shù)f（x）為單調(diào)遞增函數(shù)．
當

π

2

≤2x+

π

3

≤

4π

3

時，即

π

12

≤x≤

π

2

，函數(shù)f（x）為單調(diào)遞減函數(shù)．
所以：函數(shù)的遞增區(qū)間為：[0，

π

12

]
函數(shù)的遞減區(qū)間為：[

π

12

，

π

2

]．

點評：本題考查的知識要點：三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變換，幀線性函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和最小周期及最值．屬于基礎(chǔ)題型．