Question

1．三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁與AC、AB所成角均為60°，∠BAC=90°，且AB=AC=AA₁，則A₁B與AC₁所成角的正弦值為（　　）

• A． 1
• B． $\frac{1}{3}$
• C． $\frac{\sqrt{3}}{3}$
• D． $\frac{\sqrt{6}}{3}$

Answer 1

分析 連結(jié)A₁C，交AC₁于點(diǎn)E，取BC的中點(diǎn)D，連結(jié)AD、DE，則∠AED（或其補(bǔ)角）就是異面直線A₁B與AC₁所成的角，由此能求出異面直線A₁B與AC₁所成角的余弦值．

解答 解：連結(jié)A₁C，交AC₁于點(diǎn)E，取BC的中點(diǎn)D，連結(jié)AD、DE，
∵四邊形AA₁C₁C是平行四邊形，∴E是A₁C的中點(diǎn)
∵D是BC的中點(diǎn)，∴DE是△A₁BC的中位線，可得DE$\underset{∥}{=}$$\frac{1}{2}$A₁B，
因此，∠AED（或其補(bǔ)角）就是異面直線A₁B與AC₁所成的角．
設(shè)AB=AC=AA₁=2，
∵∠A₁AB=60°，∴△A₁AB是等邊三角形，可得A₁B=2，
得DE=$\frac{1}{2}$A₁B=1．
同理，等邊△A₁AC中，中線AE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$A₁A=$\sqrt{3}$，
又∵∠BAC=90°，AB=AC=2，D為BC中點(diǎn)，
∴AD=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$$\sqrt{A{B}^{2}+A{C}^{2}}$=$\sqrt{2}$，
由此可得△ADE中，cos∠AED=$\frac{A{E}^{2}+D{E}^{2}-A{D}^{2}}{2AE•ED}$=$\frac{3+1-2}{2×\sqrt{3}×1}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
即異面直線A₁B與AC₁所成角的余弦值為$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查異面直線所成角的余弦值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意余弦定理的合理運(yùn)用．