Question

設(shè)數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，其前n項(xiàng)的和為，對(duì)于任意正整數(shù)m,n, 恒成立.
(Ⅰ)若=1,求及數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ)若,求證:數(shù)列是等比數(shù)列.

Answer 1

(Ⅰ) ， ， ；(Ⅱ)參考解析

試題分析：(Ⅰ)通過(guò)令，可求得.同理可以求出.由于所給的等式中有兩個(gè)參數(shù)m,n.所以以一個(gè)為主元，讓另一個(gè)m=1,和m=2取特殊值通過(guò)消去即可得到一個(gè)關(guān)于與的遞推式.從而可求出的通項(xiàng)式，從而通過(guò)，可求出通項(xiàng).但前面兩項(xiàng)要驗(yàn)證是否符合.
(Ⅱ)因?yàn)橐阎?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824033158759703.png" style="vertical-align:middle;" />，所以令.即可求得與的關(guān)系式.再利用.又得到了一個(gè)關(guān)于與的關(guān)系式.從而可得與的關(guān)系式.又根據(jù)與.可求出.再根據(jù)及.即可求出結(jié)論.最后要驗(yàn)證前兩項(xiàng)是否成立.
試題解析：（1）由條件，得 ①
在①中，令，得 ②
令，得 ③
③/②得，記，則數(shù)列是公比為的等比數(shù)列。
④
時(shí)，， ⑤
④-⑤，得，當(dāng)n≥3時(shí)，{}是等比數(shù)列.
在①中，令，得，從而，則，所以.
又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824033159680371.png" style="vertical-align:middle;" />，所以    2分
在①中，令，得，則⑥
在①中，令，得，則⑦
由⑥⑦解得：                     6分
則，由
得
又，也適應(yīng)上式，所以.        8分
（2）在①中，令，得，則，所以；
在①中，令，得，則，所以，則，；代入式，得           12分
由條件得
又因,所以
故，
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824033159680371.png" style="vertical-align:middle;" />，也適應(yīng)上式，所以
所以數(shù)列是等比數(shù)列．                        14分