Question

某商店經(jīng)銷(xiāo)一種奧運(yùn)會(huì)紀(jì)念品，每件產(chǎn)品的成本為30元，并且每賣(mài)出一件產(chǎn)品需向稅務(wù)部門(mén)上交a元（a為常數(shù)，2≤a≤5 ）的稅收．設(shè)每件產(chǎn)品的售價(jià)為x元（35≤x≤41），根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查，日銷(xiāo)售量與e^x（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）成反比例．已知每件產(chǎn)品的日售價(jià)為40元時(shí)，日銷(xiāo)售量為10件．
（1）求該商店的日利潤(rùn)L（x）元與每件產(chǎn)品的日售價(jià)x元的函數(shù)關(guān)系式；
（2）當(dāng)每件產(chǎn)品的日售價(jià)為多少元時(shí)，該商品的日利潤(rùn)L（x）最大，并求出L（x）的最大值．

Answer 1

分析：（1）日銷(xiāo)售量與e^x（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）成反比例，則有售量為

k

ex

，再結(jié)合利潤(rùn)=收入-支出問(wèn)題可以得到解決．
（2）求解函數(shù)的最值，導(dǎo)數(shù)是十分重要的工具，利用分段函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解．

解答：解：（1）設(shè)日銷(xiāo)售量為

k

ex

，則

k

e40

=10，
∴k=10e40，則日售量為

10e40

ex

件．（2分）
則日利潤(rùn)L(x)=(x-30-a)

10e40

ex

=10e40

x-30-a

ex

；（4分）
（2）L′(x)=10e40

31+a-x

ex

（7分）
①當(dāng)2≤a≤4時(shí)，33≤a+31≤35，當(dāng)35＜x＜41時(shí)，L′（x）＜0
∴當(dāng)x=35時(shí)，L（x）取最大值為10（5-a）e⁵（10分）
②當(dāng)4＜a≤5時(shí)，35≤a+31≤36，令L′（x）=0，得x=a+31，
易知當(dāng)x=a+31時(shí)，L（x）取最大值為10e^9-a（13分）
綜合上得L(x)max=

10(5-a)e5，(2≤a≤4) 10e9-a，(4＜a≤5)

．（15分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的性質(zhì)和應(yīng)用，解題時(shí)要注意公式的靈活運(yùn)用．