Question

班主任為了對本班學生的考試成績進行分析，決定從全班25位女同學，15位男同學中隨機抽取一個容量為8的樣本進行分析．
（1）如果按性別比例分層抽樣，則樣本中男、女生各有多少人；
（2）隨機抽取8位同學，數(shù)學分數(shù)依次為：60，65，70，75，80，85，90，95；
物理成績依次為：72，77，80，84，88，90，93，95，
①若規(guī)定80分（含80分）以上為良好，90分（含90分）以上為優(yōu)秀，在良好的條件下，求兩科均為優(yōu)秀的概率；
②若這8位同學的數(shù)學、物理分數(shù)事實上對應下表：
根據(jù)上表數(shù)據(jù)可知，變量y與x之間具有較強的線性相關(guān)關(guān)系，求出y與x的線性回歸方程（系數(shù)精確到0.01）．（參考公式：

y

=bx+a，其中b=

n i=1 (xi- . x )(yi- . y )

n i=1 (xi- . x )2

，a=

.

y

-b

.

x

；參考數(shù)據(jù)：

.

x

=77.5，

.

y

=84.875，

8

i=1

(xi-

.

x

)2≈1050，

8

i=1

(xi-

.

x

)(yi-

.

y

)≈688，

1050

≈32.4，

457

≈21.4，

550

≈23.5）

Answer 1

分析：（1）從全班25位女同學，15位男同學中隨機抽取一個容量為8的樣本進行分析，做出女生和男生在總?cè)藬?shù)中所占的比例，用比例乘以要抽取的樣本容量，得到結(jié)果．
（2）①這是一個條件概率，在良好的條件下，兩科均為優(yōu)秀，根據(jù)等可能事件的概率和相互獨立事件同時發(fā)生的概率做出一個學生兩科都良好的概率，和兩科都優(yōu)秀的概率，利用條件概率公式得到結(jié)果．
②首先求出兩個變量的平均數(shù)，再利用最小二乘法做出線性回歸方程的系數(shù)，把做出的系數(shù)和x，y的平均數(shù)代入公式，求出a的值，寫出線性回歸方程，得到結(jié)果．

解答：解：（1）從全班25位女同學，15位男同學中隨機抽取一個容量為8的樣本進行分析
抽取男生數(shù)

25

40

×8=5人，

15

40

×8=3
（2）①規(guī)定80分（含80分）以上為良好，90分（含90分）以上為優(yōu)秀，
這是一個條件概率，在良好的條件下，兩科均為優(yōu)秀，
一個學生兩科都良好的概率是

4

8

×

6

8

=

3

8

兩科都優(yōu)秀的概率是

2

8

×

3

8

=

3

32

在良好的條件下，兩科均為優(yōu)秀的概率為

3 32

3 8

=

1

4

②

.

x

=

60+65+70+75+80+85+90+95

8

=77.5

.

y

=

72+77+80+84+88+90+93+95

8

=84.8
b≈0.655，a≈34.11
則線性回歸方程為：y=0.655x+34.11

點評：本題考查線性回歸分析的初步應用，考查分層抽樣，考查條件概率，考查相互獨立事件同時發(fā)生的概率，考查利用數(shù)學知識解決實際問題的能力，是一個比較好的綜合題目．