Question

已知△ABC中，B（-2，0），C（2，0），△ABC的周長(zhǎng)為12，動(dòng)點(diǎn)A的軌跡為曲線(xiàn)E．
（1）求曲線(xiàn)E的方程；
（2）設(shè)P、Q為E上兩點(diǎn)，

OP

•

OQ

=0，過(guò)原點(diǎn)O作直線(xiàn)PQ的垂線(xiàn)，垂足為M，證明|OM|為定值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的綜合問(wèn)題

專(zhuān)題：綜合題,圓錐曲線(xiàn)的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）利用B（-2，0），C（2，0），△ABC的周長(zhǎng)為12，可得|AB|+|AC|=8＞4，從而A的軌跡為橢圓，且2a=8，2c=4，A，B，C不能共線(xiàn)，可得A點(diǎn)不能在x軸上，從而可求曲線(xiàn)E的方程；
（2）設(shè)直線(xiàn)PQ的方程為x=ny+m，代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理，

OP

•

OQ

=0，結(jié)合向量的數(shù)量積，根據(jù)|OM|為點(diǎn)O（0，0）到直線(xiàn)PQ：x-ny-m=0的距離，即可證明|OM|為定值．

解答： （1）解：∵|AB|+|AC|+|BC|=12，|BC|=4，
∴|AB|+|AC|=8＞4，
∴A的軌跡為橢圓，且2a=8，2c=4，
∴a²=16，c²=4，b²=12，
∵A，B，C不能共線(xiàn)，∴A點(diǎn)不能在x軸上，
∴曲線(xiàn)E的方程為

x2

16

+

y2

12

=1(y≠0)…（5分）
（2）證明：設(shè)直線(xiàn)PQ的方程為x=ny+m，
由

x=ny+m x2 16 + y2 12 =1

得（4n²+3）y²+8mny+4m²-48=0，
∴y1+y2=-

8mn

4n2+3

，y1•y2=

4m2-48

4n2+3

…（2分）
∴x1x2=(ny1+m)(ny2+m)=n2y1y2+mn(y1+y2)+m2=

3m2-48n2

4n2+3

…（1分）
∵

OP

•

OQ

=0，∴x₁x₂+y₁•y₂=0，
∴

3m2-48n2

4n2+3

+

4m2-48

4n2+3

=0，
∴7m²-48n²-48=0…（1分）
∵|OM|為點(diǎn)O（0，0）到直線(xiàn)PQ：x-ny-m=0的距離，
∴|OM|=

|-m|

n2+1

，
∴|OM|2=

m2

n2+1

…（1分）
由7m²-48n²-48=0得m2=

48

7

(n2+1)…（1分）
∴|OM|2=

48 7 (n2+1)

n2+1

=

48

7

，
∴|OM|為定值…（1分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查橢圓的定義，考查直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理，考查向量的數(shù)量積，屬于中檔題．