Question

【題目】已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，焦點(diǎn)為的拋物線的準(zhǔn)線被橢圓截得的弦長(zhǎng)為．

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若點(diǎn)、到直線的距離之積為，求證：直線與橢圓相切．

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析.

【解析】

（1）根據(jù)拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，求得，根據(jù)題意可得知點(diǎn)在橢圓上，利用橢圓的定義可求出的值，進(jìn)而得出的值，即可求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）根據(jù)（1）中的橢圓方程，求得兩個(gè)焦點(diǎn)，利用點(diǎn)到直線的距離公式求得和的關(guān)系，再將直線方程代入橢圓方程，計(jì)算出，即可證明直線與橢圓相切．

（1）設(shè)橢圓的焦距為，

拋物線的焦點(diǎn)為，則，拋物線的準(zhǔn)線方程為，

由于拋物線的準(zhǔn)線被橢圓截得的弦長(zhǎng)為，則點(diǎn)在橢圓上，

由橢圓的定義得，，則，

因此，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；

（2）點(diǎn)到直線的距離，點(diǎn)到直線的距離為，

則.

①若，則，顯然不成立；

②若，則.

將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，

消去得，

則，

因此，直線與橢圓相切.