Question

已知不等式x²-ax+2＞0對(duì)任意實(shí)數(shù)x∈[2，3]恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：由已知中不等式x²-ax+2＞0對(duì)于任意的x∈[2，3]恒成立，可得x+

2

x

＞a對(duì)于任意的x∈[2，3]恒成立，利用對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性分析出y=x+

2

x

在x∈[2，3]時(shí)的值域，即可得到實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答： 解：若不等式x²-ax+2＞0對(duì)于任意的x∈[2，3]恒成立，
則x²+2＞ax對(duì)于任意的x∈[2，3]恒成立，
即x+

2

x

＞a對(duì)于任意的x∈[2，3]恒成立，
∵當(dāng)x∈[2，3]時(shí)，x+

2

x

∈[3，

11

3

]
故a＜3，
即實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-∞，3）．
故答案為：（-∞，3）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)恒成立，其中根據(jù)已知結(jié)合不等式的基本性質(zhì)，將不等式x²-ax+2＞0對(duì)于任意的x∈[2，3]恒成立，轉(zhuǎn)化為x+

2

x

＞a對(duì)于任意的x∈[2，3]恒成立，是解答本題的關(guān)鍵．