Question

【題目】已知橢圓C： =1（a＞b＞0）的右焦點(diǎn)為（ ，0），離心率為 ．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若動(dòng)點(diǎn)P（x0 ， y0）為橢圓C外一點(diǎn)，且點(diǎn)P到橢圓C的兩條切線相互垂直，求點(diǎn)P的軌跡方程．

Answer 1

【答案】
（1）解：依題意知 ，求得a=3，b=2，

∴橢圓的方程為 =1

（2）解：①當(dāng)兩條切線中有一條斜率不存在時(shí)，即A、B兩點(diǎn)分別位于橢圓長(zhǎng)軸與短軸的端點(diǎn)，P的坐標(biāo)為（±3，±2），符合題意，

②當(dāng)兩條切線斜率均存在時(shí)，設(shè)過(guò)點(diǎn)P（x0，y0）的切線為y=k（x﹣x0）+y0，

= + =1，整理得（9k2+4）x2+18k（y0﹣kx0）x+9[（y0﹣kx0）2﹣4]=0，

∴△=[18k（y0﹣kx0）]2﹣4（9k2+4）×9[（y0﹣kx0）2﹣4]=0，

整理得（x02﹣9）k2﹣2x0×y0×k+（y02﹣4）=0，

∴﹣1=k1k2= =﹣1，

∴x02+y02=13．

把點(diǎn)（±3，±2）代入亦成立，

∴點(diǎn)P的軌跡方程為：x2+y2=13

【解析】（1）根據(jù)焦點(diǎn)坐標(biāo)和離心率求得a和b，則橢圓的方可得．（2）設(shè)出切線的方程，帶入橢圓方程，整理后利用△=0，整理出關(guān)于k的一元二次方程，利用韋達(dá)定理表示出k1k2 ， 進(jìn)而取得x0和y0的關(guān)系式，即P點(diǎn)的軌跡方程．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的相關(guān)知識(shí)，掌握橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)在x軸：，焦點(diǎn)在y軸：．