已知函數(shù)f(x)=x2+|x-a|+1(x∈R)為偶函數(shù)
(1)求a的值
(2)若x∈(0,+∞)時總有f(x)-(1-m)x2>0成立,求m的取值范圍.
解:(1)法一:因為函數(shù)f(x)為偶函數(shù),所以f(-x)=f(x)對x∈R恒成立,
即有x
2+|x-a|+1=x
2+|x+a|+1,化為|x-a|=|x+a|對任意實數(shù)x恒成立,
平方得(x-a)
2=(x+a)
2,即4ax=0,所以a=0.
(若直接由|x-a|=|x+a|得a=0扣2分)
法二:由f(1)=f(-1)得|1-a|=|1+a|,得a=0.
此時f(x)=x
2+|x|+1,滿足f(-x)=f(x),
所以a=0時,f(x)為偶函數(shù).
(2)不等式即為x
2+|x|+1-(1-m)x
2>0,
即不等式mx
2+x+1>0在x∈(0,+∞)上恒成立.
設g(x)=mx
2+x+1,x∈(0,+∞).
①當m=0時,g(x)=x+1>0在(0,+∞)上恒成立;
②當m<0時,拋物線開口向下,不等式不可能恒成立;
③當m>0時,對稱軸
<0,
又因為g(0)=1>0,所以不等式恒成立.
綜上得m≥0.
分析:(1)由函數(shù)f(x)為偶函數(shù),則f(-x)=f(x)對x∈R恒成立,再用待定系數(shù)法求解,已經(jīng)知道性質(zhì),也可以用特殊值求解.(2)不等式即為x
2+|x|+1-(1-m)x
2>0,并去絕對值轉(zhuǎn)化為mx
2+x+1>0在x∈(0,+∞)上恒成立.然后令g(x)=mx
2+x+1,
x∈(0,+∞)求其最小值可即可,要注意分類討論.
點評:本題主要考查利用奇偶性求參數(shù)的值一般用待定系數(shù)法,還考查了不等式恒成立問題,一般轉(zhuǎn)化為函數(shù)求最值問題.