Question

在四棱錐P-ABCD中，側(cè)面PCD底面ABCD，PDCD，底面ABCD是直角梯形，AB∥DC，，，．

(1)求證：BC平面PBD：
(2)求直線AP與平面PDB所成角的正弦值；
(3)設(shè)E為側(cè)棱PC上異于端點(diǎn)的一點(diǎn)，，試確定的值，使得二面角E－BD－P的余弦值為．

Answer 1

（1）參考解析；（2）;（3）

試題分析：（1）由PDCD，底面ABCD是直角梯形，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，，，寫出點(diǎn)D,B,C,P,的坐標(biāo)，分別寫出相應(yīng)的向量，即可得向量BD與向量CB的數(shù)量積為零，向量PD與向量BC的數(shù)量積為零.由向量關(guān)系轉(zhuǎn)化為空間線面中位置關(guān)系，即可得到結(jié)論.
（2）要求直線AP與平面PDB所成角的正弦值，等價于求出平面PBD的法向量與向量AP所成的角余弦值即可.
（3）要使得二面角E－BD－P的余弦值為，關(guān)鍵是求出平面EBD的法向量，由于平面PBD的法向量已知，再通過兩法向量的夾角的絕對值等于.即可解出的值.
試題解析：（1）證明：因?yàn)閭?cè)面⊥底面，⊥，

所以⊥底面，所以⊥.
又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824042623502515.png" style="vertical-align:middle;" />＝，即⊥，
以為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則，，，，
所以
所以，所以.
由⊥底面，可得,
又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824042623751551.png" style="vertical-align:middle;" />，所以⊥平面.
（2）由（1）知平面的一個法向量為，
所以
設(shè)直線AP與平面PDB所成角為，則
(3)因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824042623907684.png" style="vertical-align:middle;" />，又，設(shè)
則
所以，.設(shè)平面的法向量為，
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824042624032626.png" style="vertical-align:middle;" />，由，，
得，令，則可得平面的一個法向量為所以，
解得或，又由題意知，故.