Question

【題目】已知函數(shù)（，為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），是的導(dǎo)函數(shù)．

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求證：；

（Ⅱ）是否存在正整數(shù)，使得對(duì)一切恒成立？若存在，求出的最大值；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見(jiàn)解析；（2）2.

【解析】試題分析: （1）根據(jù)已知條件求出，設(shè).根據(jù)得出在上為增函數(shù)，即可得證.

（2）令，則只能取或.當(dāng)時(shí)，設(shè)，求出.由得在上是減函數(shù)，在是增函數(shù)，即.故對(duì)一切恒成立.

試題解析：（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，，則

令，則

令，得，故在時(shí)取得最小值

∵，∴在上為增函數(shù)．

∴．

（Ⅱ），

由，得對(duì)一切恒成立

當(dāng)時(shí)，可得，所以若存在，則正整數(shù)的值只能取1,2

下面證明當(dāng)時(shí)，不等式恒成立

設(shè)，則

由（Ⅰ） ∴

∴當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，

即在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)

∴

當(dāng)時(shí)，不等式恒成立

所以的最大值是22．