Question

已知|a|=1，|b|=4，且向量a與b不共線．
（1）若a與b的夾角為60°，求（2a-b）•（a+b）；
（2）若向量ka+b與ka-b互相垂直，求k的值．

Answer 1

分析：（1）本題要求兩個向量的數(shù)量積，而這兩個向量是用一組基底來表示的，組成基底的向量的模長和兩個向量的夾角是已知的，所以根據(jù)數(shù)量積的定義展開運算，得到結(jié)果．
（2）本題是以兩個向量垂直為條件，根據(jù)向量垂直寫出它的充要條件，得到關(guān)于要求的k的一元二次方程，解方程得到變量k的值．

解答：解：（1）∵|

a

|=1，|

b

|=4，

a

與

b

的夾角為60°
∴(2

a

-

b

)•(

a

+

b

)
=2

a

•

a

+

a

•

b

-

b

•

b

=2

|a|

2+

|a|

•

|b|

cosθ-

|b|

2
=2×1+1×4×cos60°-4²
=-12．
（2）由題意可得：(k

a

+

b

)•(k

a

-

b

)=0，
即k2

a

2-

b

2=0，
∵|

a

|=1，|

b

|=4，

a

與

b

的夾角為60°
∴k²-16=0，
∴k=±4．

點評：本題是對向量平行和垂直的考查，還有對數(shù)量積的應(yīng)用考查，根據(jù)兩個向量的夾角和模，用數(shù)量積列出式子，求解題目中所出現(xiàn)的變量的取值，是一個基礎(chǔ)題．