Question

在數(shù)列{a_n}中,已知a₁=1,a₂=3,a_n+2= 3a_n+1- 2a_n.
(1)證明數(shù)列{ a_n+1- a_n}是等比數(shù)列,并求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè)b_n=,{b_n}的前n項(xiàng)和為S_n,求證

Answer 1

⑴a_n=a₁+(a₂-a₁)+ (a₃-a₂)+…+(a_n- a_n-1)=1+2+2²+…+2^n-1==2ⁿ-1;
⑵b_n==log₂2ⁿ=n,S_n=,
,
所以
=2<2.

本題是中檔題，考查等差數(shù)列的基本性質(zhì)，考查計(jì)算能力，利用數(shù)列的前3項(xiàng)是等比數(shù)列建立方程是解題的關(guān)鍵．本題第二小題借用（1）結(jié)論用解方程組的方法求出數(shù)列通項(xiàng)，設(shè)計(jì)巧妙，值得借鑒
（1）由a_n+2= 3a_n+1- 2a_n得a_n+2- a_n+1= 2(a_n+1- a_n),a₂-a₁=2,
所以,{ a_n+1- a_n}是首項(xiàng)為2,公比為2的等比數(shù)列,從而得到結(jié)論。
(2)因?yàn)閎_n=n,那么結(jié)合已知關(guān)系式得到裂項(xiàng)求和，從而求解得到結(jié)論。