Question

13．已知函數f（x）=x³+3|x-a|（a＞0）．
（1）當a=1時，曲線y=f（x）上P點處的切線與直線x-3y-2=0垂直，求P點的坐標；
（2）求函數f（x）的單調區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）利用導數的幾何意義，求解斜率判斷即可；
（2）求解導數f′（x）=3x²+3＞0，根據導數與函數單調性的關系判斷即可，注意分類討論思想的運用．

解答 解：（1）∵直線x-3y-2=0的斜率為$\frac{1}{3}$，
∴切線的斜率為-3．
由f（x）=x³+3|x-1|得：
當x≥1時，f（x）=x³+3x-3，f′（x）=3x²+3=-3不成立，∴切線不存在；
當x＜1時，f（x）=x³-3x+3，f′（x）=3x²-3=-3，
∴x=0，∴P點的坐標為（0，3）．                       
（2）當x≥a時，f（x）=x³+3x-3a，f′（x）=3x²+3＞0，
∴f（x）單調遞增．                        
當x＜a時，f（x）=x³-3x+3a，
f′（x）=3x²-3=3（x+1）（x-1），
若0＜a≤1，f′（x）=0時，x=-1；f′（x）＞0時，x＜-1；f′（x）＜0時，-1＜x＜a；
若a＞1，f′（x）=0時，x=±1；f′（x）＞0時，x＜-1或1＜x＜a；f′（x）＜0時，-1＜x＜1．
綜上可得：當0＜a≤1時，f（x）的單調遞增區(qū)間為（-∞，-1），（a，+∞），單調遞減區(qū)間為（-1，a）；
當a＞1時，f（x）的單調遞增區(qū)間為（-∞，-1），（1，+∞），單調遞減區(qū)間為（-1，1）．

點評 本題綜合考查了導數的幾何意義，導數在單調性中的運用，分類討論等思想的運用，綜合運用知識解決問題的能力．