Question

17．已知定義在正實數(shù)集上的函數(shù)f（x）、g（x），g（x）≠0，f（x）=log_ax•g（x）（a＞0且a≠1），f′（x）g（x）＜f（x）g′（x），若關(guān)于t的方程[g（4）•t]²+1=f（4）•t有唯一解，則a的值為（　�。�

• A． $\frac{1}{4}$
• B． $\frac{1}{2}$
• C． 2
• D． $\frac{1}{2}$或2

Answer 1

分析 構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性，推出a的范圍，利用二次方程由唯一解，通過判別式轉(zhuǎn)化求解a即可．

解答 解：令F（x）=$\frac{f（x）}{g（x）}$，可得：F′（x）=$\frac{f′（x）g（x）-f（x）g′（x）}{[g（x）]^{2}}$，∵f′（x）g（x）＜f（x）g′（x），∴F′（x）＜0，函數(shù)F（x）是減函數(shù)，
F（x）=$\frac{f（x）}{g（x）}$=log_ax，所以0＜a＜1．
f（x）=log_ax•g（x），可得f（4）=log_a4•g（4），
關(guān)于t的方程[g（4）•t]²+1=f（4）•t有唯一解，
即關(guān)于t的方程[g（4）•t]²+1=log_a4•g（4）•t有唯一解，
即log²_a4•g²（4）-4g²（4）=0，
可得log²_a4=4，可得a=$\frac{1}{2}$，a=2（舍去）
故選：B．

點評 本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系，二次方程根的個數(shù)的判斷，對數(shù)函數(shù)的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力．