Question

【題目】已知橢圓：的左、右焦點(diǎn)分別為，，左頂點(diǎn)為，離心率為，點(diǎn)是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，的面積的最大值為.

(1)求橢圓的方程；

(2)設(shè)經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)，，線段的中垂線為.若直線與直線相交于點(diǎn)，與直線相交于點(diǎn)，求的最小值.

Answer 1

【答案】見(jiàn)解析.

【解析】試題（1）由已知，有，可得. 設(shè)點(diǎn)的縱坐標(biāo)為.可得

的最大值 。求出，.即可得到橢圓的方程；

（2）由題意知直線的斜率不為，故設(shè)直線：.

設(shè)，，，.

聯(lián)立，得.由弦長(zhǎng)公式可得

，由此得到的表達(dá)式，由基本不等式可得到的最小值.

試題解析：

（1）由已知，有，即.

∵，∴.

設(shè)點(diǎn)的縱坐標(biāo)為.

則 ，

即.

∴，.

∴橢圓的方程為.

（2）由題意知直線的斜率不為，故設(shè)直線：.

設(shè)，，，.

聯(lián)立，消去，得.

此時(shí).

∴，.

由弦長(zhǎng)公式，得 .

整理，得.

又，∴ .

∴ .

∴ ，

當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立.

∴當(dāng)，即直線的斜率為時(shí)，取得最小值.