Question

（2012•河北模擬）已知{a_n}是首項(xiàng)為a₁，公比為q（q≠1）的等比數(shù)列，其前n項(xiàng)和為S_n，且有

S10

S5

=

33

32

，設(shè)b_n=2q+S_n．
（1）求q的值；
（2）數(shù)列{b_n}能否為等比數(shù)列？若能，請求出a₁的值；若不能，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）由q≠1，利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，結(jié)合

S10

S5

=

33

32

求得q 的值．
（2）化簡b_n=2q+S_n ，若數(shù)列{b_n}能為等比數(shù)列，則有b22=b₁ b₃，由此求得a₁的值，此時可得當(dāng)n≥2時，

bn

bn-1

=

1

2

，從而得出結(jié)論．

解答：解：（1）∵q≠1，∴

S10

S5

=

33

32

=

a1(1-q10) 1-q

a1(1-q5) 1-q

=

1-q10

1-q5

=1+q⁵，∴q=

1

2

．
（2）∵b_n=2q+S_n =1+

a1 •(1- 1 2n )

1- 1 2

=（2a₁+1）-

2a1

2n

．
若數(shù)列{b_n}能為等比數(shù)列，則有b22=b₁ b₃，∴(1+

3

2

 a 1)2=（1+a₁ ）（1+

7

4

a₁），解得 a₁=-

1

2

，或 a₁=0 （舍去）．
∵b_n≠0，且當(dāng)n≥2時，

bn

bn-1

=

1

2

，故當(dāng) a₁=-

1

2

時，數(shù)列{b_n}為等比數(shù)列．

點(diǎn)評：本題主要考查等比數(shù)列的定義和性質(zhì)，等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，等比關(guān)系的確定，屬于中檔題．