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10.全美職業(yè)籃球聯(lián)賽(NBA)某年度總決賽在克利夫蘭騎士隊(duì)與金州勇士隊(duì)之間角逐,比賽采用七局四勝制,即若有一隊(duì)先勝四場(chǎng),則此隊(duì)獲勝,比賽就此結(jié)束.因兩隊(duì)實(shí)力相當(dāng),故每場(chǎng)比賽獲勝的可能性相等.據(jù)以往資料統(tǒng)計(jì),第一場(chǎng)比賽組織者可獲得門票收入2000萬美元,以后每場(chǎng)比賽門票收入比上一場(chǎng)增加100萬美元.當(dāng)兩隊(duì)決出勝負(fù)后,
問:(1)組織者在此次決賽中要獲得門票收入不少于13500萬美元的概率為多少?
(2)某隊(duì)在比賽過程中曾一度比分(勝一場(chǎng)得1分)落后2分以上(含2分),最后取得全場(chǎng)勝利稱為“逆襲”,求騎士隊(duì)“逆襲”獲勝的概率;
(3)求此次決賽所需比賽場(chǎng)數(shù)的概率分布列及數(shù)學(xué)期望.

分析 (1)計(jì)算比賽場(chǎng)次,再求出相應(yīng)的概率,即可求出組織者在此次決賽中要獲得門票收入不少于13500萬元的概率;
(2)若騎士隊(duì)“逆襲”獲勝,可能通過6場(chǎng)或7場(chǎng)獲勝,分類求概率,即可求出騎士隊(duì)“逆襲”獲勝的概率;
(3)所需比賽場(chǎng)數(shù)ξ是隨機(jī)變量,其取值為4,5,6,7.求出相應(yīng)的概率,即可得出決賽所需比賽場(chǎng)數(shù)的分布列及數(shù)學(xué)期望.

解答 解:(1)設(shè)比賽場(chǎng)次為n,則組織者獲得門票收入為2000n+nn12×100≥13500,
解得n≥6,故至少要比賽6場(chǎng).
設(shè)事件Ai表示決賽進(jìn)行i場(chǎng),(i=4,5,6,7)
若比賽進(jìn)行6場(chǎng),則其中1隊(duì)在前5場(chǎng)贏了3場(chǎng),并在第6場(chǎng)贏球,
∴P(A6)=2×C3512312212=516,
若比賽進(jìn)行7場(chǎng),則兩隊(duì)在前6場(chǎng)各贏3場(chǎng),
∴P(A7)=C36×(123123=516,
∴收入不少于13500萬元的概率為516+516=58
(2)若騎士隊(duì)“逆襲”獲勝,可能通過6場(chǎng)或7場(chǎng)獲勝.
當(dāng)6場(chǎng)獲勝時(shí),則1、2場(chǎng)敗,3、4、5、6勝,概率為(126=164
當(dāng)7場(chǎng)獲勝時(shí),則4勝3敗,
①若前2場(chǎng)都敗,則另外1敗可以任意發(fā)生在第3、4、5、6中的一場(chǎng),所以“逆襲”獲勝概率為C14•(127=132
②若前2場(chǎng)1勝1敗,則第3、4場(chǎng)必須敗,所以“逆襲”獲勝概率為C12127=164,
故騎士隊(duì)“逆襲”獲勝的概率為164+132+164=116
(3)設(shè)比賽場(chǎng)數(shù)為ξ,則ξ的可能取值為4,5,6,7.
則P(ξ=4)=C12124=18,P(ξ=5)=2C3412412=14,由(1)知P(ξ=6)=516,P(ξ=7)=516,
∴ξ的分布列為:

ξ4567
P1814516516
∴E(ξ)=4×18+5×14+6×516+7×516=9316

點(diǎn)評(píng) 本題考查概率的計(jì)算,考查離散型隨機(jī)變量的分布列和期望,考查分類討論的數(shù)學(xué)思想,正確求概率是關(guān)鍵.

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