Question

10．已知球O與正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面ABCD及四個(gè)側(cè)面都相切，對(duì)角線BD₁與球面的兩個(gè)交點(diǎn)分別為M，N，M為線段BD的中點(diǎn)，MN=$\sqrt{6}$．則球O的體積為$\frac{9}{2}$π．

Answer 1

分析 求出cos∠BD₁D=$\frac{4R}{2\sqrt{6}R}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，取MN的中點(diǎn)E，則ME=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，利用cos∠OME=cos∠BD₁D=$\frac{\sqrt{6}}{3}$=$\frac{\frac{\sqrt{6}}{2}}{R}$，求出R，即可求出球O的體積．

解答 解：由題意，M為線段BD的中點(diǎn)，∴DD₁=4R，
∵BD=2$\sqrt{2}$R，∴BD₁=$\sqrt{16{R}^{2}+8{R}^{2}}$=2$\sqrt{6}$R，
∴cos∠BD₁D=$\frac{4R}{2\sqrt{6}R}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
取MN的中點(diǎn)E，則ME=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
∴cos∠OME=cos∠BD₁D=$\frac{\sqrt{6}}{3}$=$\frac{\frac{\sqrt{6}}{2}}{R}$，
∴R=$\frac{3}{2}$，
∴球O的體積為$\frac{4}{3}π{R}^{3}$=$\frac{4}{3}π•（\frac{3}{2}）^{3}$=$\frac{9}{2}$π．
故答案為：$\frac{9}{2}$π．

點(diǎn)評(píng) 本題考查球O的體積，考查學(xué)生的計(jì)算能力，正確求出球O的半徑是關(guān)鍵．