已知f(x)=
ax2+x
2x2+b
（a，b為常數(shù)）為奇函數(shù)，且過點(1，
1
3
)．
（1）求f（x）的表達式；
（2）定義正數(shù)數(shù)列{an}，a1=
1
2
，
a
2
n+1
=2anf(an)(n∈N*)，證明：數(shù)列{
1
a
2
n
-2}是等比數(shù)列；
（3）令bn=
1
a
2
n
-2，Sn為{bn}的前n項和，求使Sn＞
31
8
成立的最小n值．
分析：（1）根據(jù)函數(shù)為奇函數(shù)和過點(1，
1
3
)，求出a，b，確定出f（x）的解析式．
（2）
a
n+1
2
=2anf(n)=2an
an
2
a
n
2
+1
=
2
a
n
2
2
a
n
2
+1
，化簡可得數(shù)列{
1
a
2
n
-2}是以2為首項，
1
2
為公比的等比數(shù)列．
（3）bn為等比數(shù)列，根據(jù)等比數(shù)列的求和公式求出Sn，解出不等式中n的范圍，從而確定n的最小值．
解答：解：（1）∵f（x）=
ax2+x
2x2+b
為奇函數(shù)，∴f（-x）=
a(-x)2-x
2(-x)2+bx
=
ax2-x
2x2+b
=-
ax2+x
2x2+b
=-f（x），
∴a=0；
又f（x）過點（1，
1
3
），∴f（1）=
x
2x2+b
=
1
2+b
=
1
3
，∴b=1．∴f（x）=
x
2x2+ 1

（2）∵
a
2
n+1
=2anf(n)=2an
an
2
a
2
n
+1
=
2
a
2
n
2
a
2
n
+1

∴
1
a
2
n+1
=1+
1
2
a
2
n
，，
∴
1
a
2
n+1
-2=
1
2
(
1
a
2
n
-2)∴數(shù)列{
1
a
2
n
-2}是以2為首項，
1
2
為公比的等比數(shù)列．
（3）∵bn=
1
a
n
2
-2， a1=
1
2

∴Sn=
2[1-(
1
2
)2]
1-
1
2
=4[1-(
1
2
)2]
又Sn＞
31
8
，即4[1-(
1
2
)2]＞
31
8

∴n＞5
∴滿足Sn＞
31
8
的最小為6．
點評：本題是數(shù)列與函數(shù)的綜合題，考查了等比數(shù)列的證明，等比數(shù)列的求和，以及不等式的解法，綜合性比較強，應該靈活掌握．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知f(x)=
ax2+x
2x2+b
為奇函數(shù)（a，b是常數(shù)），且函數(shù)f（x）的圖象過點(1，
1
3
)
（1）求f（x）的表達式；
（2）定義正數(shù)數(shù)列{an}，a1=
1
2
，
a
2
n+1
=2anf(an)(n∈N*)，求數(shù)列{an2}的通項公式；
（3）已知b&n=
a
2
n
a
2
n+1
2n-2
，設Sn為bn的前n項和，證明：
1
6
≤Sn＜
1
2
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知f(x)=
ax2+2
b-3x
是定義在（-∞，0）∪（0，+∞）上的奇函數(shù)，f(2)=-
5
3
．
（1）求a，b的值；
（2）請用函數(shù)單調(diào)性的定義說明：f（x）在區(qū)間（1，+∞）上的單調(diào)性；
（3）求f（x）的值域．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知f(x)=
ax2+bx+1
x+c
(a＞0)是奇函數(shù)，且當x＞0時，f（x）有最小值2
2
，求f（x）的表達式．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知f(x)=ax2+bx+c(a＞0)的圖象與x軸有兩個不同的交點，且f(c)=0,當0＜x＜c時，f(x)＞0.

（1）求證：＞c;

（2）求證：-2＜b＜-1;

（3）當c＞1,t＞0時，求證：++＞0.

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