Question

過(guò)拋物線y²=2x內(nèi)的任意一點(diǎn)Q（s，t）（t²＜2s）作兩條相互垂直的弦AB，CD，若弦AB，CD的中點(diǎn)分別為M，N，直線MN恒過(guò)定點(diǎn)（　�。�

A．（s+1，0）

B．（|1-s|，0）

C．（1+2s，0）

D．（|1-2s|，0）

Answer 1

分析：本選擇題為了簡(jiǎn)化計(jì)算，不妨取Q點(diǎn)是拋物線的焦點(diǎn)（

1

2

，0）．若要證直線MN必過(guò)定點(diǎn)P，只需求出含參數(shù)的直線MN的方程，觀察是否過(guò)定點(diǎn)即可．因此設(shè)出A、B、M、N的坐標(biāo)，用A、B坐標(biāo)表示M、N坐標(biāo)，從而求出直線MN方程，即可得直線必過(guò)定點(diǎn)，從而得出正確選項(xiàng)．

解答：解：不妨取Q點(diǎn)是拋物線的焦點(diǎn)（

1

2

，0）．
設(shè)點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（x₃，y₃），N（x₄，y₄）
把直線AB：y=k（x-

1

2

）代入y²=2x，得
k²x²-（k²+2）x+

1

4

k²=0，
∴x₃=

x1+x2

2

=

1

2

+

1

k2

，y₃=k（x₃-

1

2

）=

1

k

同理可得，x₄=

1

2

+k²，y₄=-k，
∴k_MN=

y3-y4

x3-x4

=

k

1-k2

∴直線MN為y-

1

k

=

k

1-k2

（x-

1

2

-

1

k2

），即y=

k

1-k2

（x-

3

2

），
結(jié)合直線方程的點(diǎn)斜式，可得直線恒過(guò)定點(diǎn)P（

3

2

，0），
對(duì)照Q點(diǎn)是拋物線的焦點(diǎn)（

1

2

，0），定點(diǎn)P可以寫(xiě)成（

1

2

+1，0）．
故選A．

點(diǎn)評(píng)：本題給出拋物線互相垂直的弦AB、CD，求它們的中點(diǎn)確定的直線恒過(guò)定點(diǎn)．著重考查了直線與拋物線位置關(guān)系、直線過(guò)定點(diǎn)的判斷等知識(shí)，屬于中檔題．