Question

3．已知a∈R，函數(shù)f（x）=e^x-ax（e=2.71828…是自然對數(shù)的底數(shù)）．
（I）若函數(shù)f（x）在區(qū)間（-e，-1）上是減函數(shù)，求a的取值范圍；
（II）若函數(shù)F（x）=f（x）-（e^x-2ax+2lnx+a）在區(qū)間（0，$\frac{1}{2}$）內(nèi)無零點，求a的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，分離參數(shù)a，由題意可得a＞e^x在（-e，-1）上恒成立，求出e^x在（-e，-1）上的范圍得答案；
（Ⅱ）求出函數(shù)F（x），求其導(dǎo)函數(shù)F′（x）=a-$\frac{2}{x}$=$\frac{ax-2}{x}$，可知當(dāng)a≤0時函數(shù)F（x）在區(qū)間（0，$\frac{1}{2}$）上單調(diào)遞減，可得F（x）＞F（$\frac{1}{2}$）＞0，函數(shù)F（x）在區(qū)間（0，$\frac{1}{2}$）上無零點；當(dāng)a＞0時，分0＜a≤4和a＞4分類分析，求得函數(shù)F（x）在區(qū)間（0，$\frac{1}{2}$）內(nèi)無零點的a的范圍，則答案可求．

解答 解：（Ⅰ）∵f（x）=e^x-ax，
∴f′（x）=e^x-a，
∵函數(shù)f（x）在區(qū)間（-e，-1）上是減函數(shù)，
∴f′（x）=e^x-a＜0在（-e，-1）上恒成立，
∴a＞e^x在（-e，-1）上恒成立，
∵y=e^x在（-e，-1）上為增函數(shù)，
∴a＞e^-1=$\frac{1}{e}$；
（Ⅱ）函數(shù)F（x）=f（x）-（e^x-2ax+2lnx+a）=ax-2lnx-a，x∈$（{0，\frac{1}{2}}）$，
∴F′（x）=a-$\frac{2}{x}$=$\frac{ax-2}{x}$，
①當(dāng)a≤0時，F(xiàn)′（x）＜0在（0，$\frac{1}{2}$）上恒成立，函數(shù)F（x）在區(qū)間（0，$\frac{1}{2}$）上單調(diào)遞減，
則F（x）＞F（$\frac{1}{2}$）=$\frac{a}{2}-2ln\frac{1}{2}-a$=ln4-$\frac{a}{2}$＞0，
∴a≤0時，函數(shù)F（x）在區(qū)間（0，$\frac{1}{2}$）上無零點；
②當(dāng)a＞0時，令F'（x）=0得，x=$\frac{2}{a}$，
令F'（x）＞0，得x＞$\frac{2}{a}$，令F'（x）＜0，得0＜x＜$\frac{2}{a}$，
因此，函數(shù)F （x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（$\frac{2}{a}$，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間是（0，$\frac{2}{a}$）．
（�。┊�(dāng)$\frac{2}{a}$≥$\frac{1}{2}$，即0＜a≤4時，
函數(shù)F（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是（0，$\frac{1}{2}$），∴F（x）＞F（$\frac{1}{2}$）=$\frac{1}{2}$a-2ln$\frac{1}{2}$-a=ln4-$\frac{a}{2}$，
要使函數(shù)F（x）在區(qū)間（0，$\frac{1}{2}$）內(nèi)無零點，則ln4-$\frac{a}{2}$≥0，得a≤4ln2；
（ii）當(dāng)$\frac{2}{a}$＜$\frac{1}{2}$，即a＞4時，
函數(shù)F （x）的單調(diào)遞減區(qū)間是（0，$\frac{2}{a}$），單調(diào)遞增區(qū)間是（$\frac{2}{a}$，$\frac{1}{2}$），
∴F（x）_min=F（$\frac{2}{a}$）=2-2ln$\frac{2}{a}$-a=2-ln4+2lna-a，
設(shè)g（a）=2-ln4+2lna-a
∴g′（a）=$\frac{2}{a}$-1=$\frac{2-a}{a}$＜0，
∴g（a）在（4，+∞）上單調(diào)遞減，
∴g（a）＜g（4）=2-ln4+2ln4-4=ln4-2=2（ln2-lne）＜0，
而當(dāng)x→0時，f（x）→+∞，
∴函數(shù)F（x）在區(qū)間（0，$\frac{1}{2}$）內(nèi)有零點，不合題意．
綜上，要使函數(shù)F（x）=f（x）-（e^x-2ax+2lnx+a）在區(qū)間（0，$\frac{1}{2}$）內(nèi)無零點，則a的最大值為4ln2．

點評 本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，是壓軸題．