Question

2．已知函數(shù)f（x）=（$\frac{1}{2}$）^x的圖象與函數(shù)y=g（x）的圖象關(guān)于直線y=x對稱．
（1）若f（g（x））=6-x²，求實(shí)數(shù)x的值；
（2）若函數(shù)y=g（f（x²））的定義域?yàn)閇m，n]（m≥0），值域?yàn)閇2m，2n]，求實(shí)數(shù)m，n的值；
（3）當(dāng)x∈[-1，1]時(shí)，求函數(shù)y=[f（x）]²-2af（x）+3的最小值h（a）．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)函數(shù)的對稱性即可求出g（x），即可得到f（g（x））=x，解得即可．
（2）先求出函數(shù)的解析式，得到$\left\{\begin{array}{l}{{m}^{2}=2m}\\{{n}^{2}=2n}\end{array}\right.$，解得m=0，n=2，
（3）由x∈[-1，1]可得t∈[$\frac{1}{2}$，2]，結(jié)合二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，對a進(jìn)行分類討論，即可得到函數(shù)y=f²（x）-2af（x）+3的最小值h（a）的表達(dá)式．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）=（$\frac{1}{2}$）^x的圖象與函數(shù)y=g（x）的圖象關(guān)于直線y=x對稱，
∴g（x）=$lo{g}_{\frac{1}{2}}x$，
∵f（g（x））=6-x²，
∴$（\frac{1}{2}）^{lo{g}_{\frac{1}{2}}x}$=6-x²=x，
即x²+x-6=0，
解得x=2或x=-3（舍去），
故x=2，
（2）y=g（f（x²））=$lo{g}_{\frac{1}{2}}（\frac{1}{{2}^{{x}^{2}}}）$=x²，
∵定義域?yàn)閇m，n]（m≥0），值域?yàn)閇2m，2n]，
$\left\{\begin{array}{l}{{m}^{2}=2m}\\{{n}^{2}=2n}\end{array}\right.$，
解得m=0，n=2，
（3）令t=（$\frac{1}{2}$）^x，
∵x∈[-1，1]，
∴t∈[$\frac{1}{2}$，2]，
則y=[f（x）]²-2af（x）+3等價(jià)為y=m（t）=t²-2at+3，
對稱軸為t=a，
當(dāng)a＜$\frac{1}{2}$時(shí)，函數(shù)的最小值為h（a）=m（$\frac{1}{2}$）=$\frac{13}{4}$-a；
當(dāng)$\frac{1}{2}$≤a≤2時(shí)，函數(shù)的最小值為h（a）=m（a）=3-a²；
當(dāng)a＞2時(shí)，函數(shù)的最小值為h（a）=m（2）=7-4a；
故h（a）=$\left\{\begin{array}{l}{7-4a，a＞2}\\{-{a}^{2}+3，\frac{1}{2}≤a≤2}\\{-a+\frac{13}{4}，a＜\frac{1}{2}}\end{array}\right.$

點(diǎn)評 本題考查的知識點(diǎn)是指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，分段函數(shù)，是函數(shù)圖象和性質(zhì)的綜合應(yīng)用，難度中檔．