Question

如圖在棱長為1的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，點E為棱BC的中點，點F是棱CD上的動點．
（1）試確定F點的位置，使得D₁E⊥平面AB₁F；
（2）當D₁E⊥平面AB₁F時，求二面角C₁-EF-C的余弦值．

Answer 1

考點：用空間向量求平面間的夾角,直線與平面垂直的判定

專題：空間位置關系與距離,空間角

分析：（1）建立空間直角坐標系，利用向量法能求出F為棱CD上的中點．
（2）求出平面C₁EF的法向量和平面CEF的法向量，利用向量法能求出二面角C₁-EF-C的余弦值．

解答： 解：（1）建立如圖所示的空間直角坐標系，
則A（0，0，0），B₁（1，0，1），
F（x，1，0），E（1，

1

2

，0，D₁（0，1，1），

AB1

=（1，0，1），

AF

=（x，1，0），

EB1

=（-1，

1

2

，1），
∵D₁E⊥面AB₁F，∴

ED1

•

AB1

=0，

ED1

•

AF

=0，
∴-x+

1

2

=0，解得x=

1

2

，
∴F為棱CD上的中點．
（2）

EC1

=（0，

1

2

，1），

FC1

=（

1

2

，0，1），
設平面C₁EF的一個法向量為

n

=（x，y，z），
則

n • EC1 =0 n • FC1 =0

，∴

1 2 y+z=0 1 2 x+z=0

，取z=-1，得

n

=（2，2，-1），
而平面CEF的一個法向量為

CC1

=（0，0，1），
∴cos＜

n

，

CC1

＞=

-1

3

=-

1

3

，
∵二面角C₁-EF-C是銳二面角，
∴二面角C₁-EF-C的余弦值為

1

3

．

點評：本題考查點的位置的確定，考查二面角的余弦值的求法，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．