Question

6．如圖，在四棱椎P-ABCD中，側(cè)棱PD⊥底面ABCD，底面ABCD為梯形，AB∥CD，∠BAD=∠ADC=90°，DC=2AB=2，DA=PD=$\sqrt{3}$，E為BC的中點，連結(jié)AE，交BD于點O．
（Ⅰ）求證：AE⊥平面PBD；
（Ⅱ）求二面角D-PB-E的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DP為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能證明AE⊥平面PBD．
（Ⅱ）求出平面PBD的法向量和平面PBE的法向量，利用向量法能求出二面角D-PB-E的余弦值．

解答 證明：（Ⅰ）以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DP為z軸，
建立空間直角坐標系，
則A（$\sqrt{3}$，0，0），B（$\sqrt{3}$，1，0），
C（0，2，0），
E（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{3}{2}$，0），P（0，0，$\sqrt{3}$），
D（0，0，0），
$\overrightarrow{AE}$=（-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{3}{2}$，0），
$\overrightarrow{DB}$=（$\sqrt{3}，1，0$），
$\overrightarrow{DP}$=（0，0，$\sqrt{3}$），
$\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{DB}$=-$\frac{3}{2}+\frac{3}{2}$+0=0，$\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{DP}$=0，
∴AE⊥DB，AE⊥DP，
∵DB∩DP=D，∴AE⊥平面PBD．
解：（Ⅱ）∵AE⊥平面PBD，
∴$\overrightarrow{AE}$=（-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{3}{2}$，0）是平面PBD的法向量，
$\overrightarrow{PB}$=（$\sqrt{3}，1$，-$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{PE}$=（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{3}{2}$，-$\sqrt{3}$），
設平面PBE的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PB}=\sqrt{3}x+y-\sqrt{3}z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PE}=\frac{\sqrt{3}}{2}x+\frac{3}{2}y-\sqrt{3}z=0}\end{array}\right.$，取y=$\sqrt{3}$，得$\overrightarrow{n}$=（1，$\sqrt{3}$，2），
設二面角D-PB-E的平面角為θ，
則cosθ=$\frac{|\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AE}|}{|\overrightarrow{n}|•|\overrightarrow{AE}|}$=$\frac{\sqrt{3}}{3•2\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{12}$．
∴二面角D-PB-E的余弦值為$\frac{\sqrt{6}}{12}$．

點評 本題考查線面垂直的證明，考查二面角的余弦值求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．