在四棱錐中,平面,是正三角形,與的交點恰好是中點,又,,點在線段上,且.
(1)求證:;
(2)求證:平面;
(3)求二面角的余弦值.
(1)詳見解析;(2)詳見解析;(3)
解析試題分析:(1)線線垂直是通過線面垂直證明,由已知,,從而平面,進而可證明;(2)要證明直線和平面平行,只需在平面內(nèi)找一條直線與之平行即可,該題中通過計算得,從而說明,進而證明面;(3)二面角的求法:根據(jù)已知條件選三條兩兩垂直的直線,分別作為軸,建立空間直角坐標系,表示相關(guān)點的坐標,并求二面角兩個半平面的法向量,再求法向量的夾角,通過觀察二面角是銳二面角還是鈍二面角,決定二面角余弦值的正負,該題中,可選的方向為軸的正方向,而且面的法向量就是,故只需求面的法向量即可.
試題解析:(I) 因為是正三角形,是中點,所以,即,又因為,平面,,又,所以平面,
又平面,所以.
(Ⅱ)在正三角形中,, 在中,因為為中點,,所以
,所以,所以,在等腰直角三角形中,,,所以,,所以,又平面,平面,所以平面.
(Ⅲ)因為,所以,分別以為軸, 軸, 軸建立如圖的空間直角坐標系,所以
由(Ⅱ)可知,為平面的法向量 ,,
設(shè)平面的一個法向量為,則,即,令則平面的一個法向量為, 設(shè)二面角的大小為, 則
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
已知平行四邊形ABCD(圖1)中,AB=4,BC=5,對角線AC=3,將三角形ACD沿AC折起至PAC位置(圖2),使二面角為600,G,H分別是PA,PC的中點.
(1)求證:PC平面BGH;
(2)求平面PAB與平面BGH夾角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
如圖,正△ABC的邊長為4,CD是AB邊上的高,E,F(xiàn)分別是AC和BC邊的中點,現(xiàn)將△ABC沿CD翻折成直二面角A-DC-B.
(1)試判斷直線AB與平面DEF的位置關(guān)系,并說明理由;
(2)求棱錐E-DFC的體積;
(3)在線段BC上是否存在一點P,使AP⊥DE?如果存在,求出的值;如果不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
如圖,五面體中,四邊形ABCD是矩形,DA面ABEF,且DA=1,AB//EF,,P、Q、M分別為AE、BD、EF的中點.
求證:(I)PQ//平面BCE;
(II)求證:AM平面ADF;
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如圖,在直三棱柱(側(cè)棱和底面垂直的棱柱)中,平面側(cè)面,,,且滿足.
(1)求證:;
(2)求點的距離;
(3)求二面角的平面角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
如圖,四邊形ABCD為正方形,PA平面ABCD,且AD= 2PA,E、F、G、H分別是線段PA、PD、CD、BC的中點.
(I)求證:BC∥平面EFG;
(II)求證:DH平面AEG.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
正方體的棱長為,線段上有兩個動點,且,則下列結(jié)論中錯誤的是( )
A. |
B.三棱錐的體積為定值 |
C.二面角的大小為定值 |
D.異面直線所成角為定值 |
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