19.已知{an}是正數(shù)組成的數(shù)列,a1=1,其前n項(xiàng)的和為Sn,且2Sn=an2+an
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)若bn=an(3an-3)cosnπ(n∈N*),求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn

分析 (1)利用2Sn=an2+an.寫出$2{S_{n+1}}=a_{n+1}^2+{a_{n+1}}$,然后作差求出{an}是等差數(shù)列,求出通項(xiàng)公式.
(2)利用n是奇數(shù)與偶數(shù),寫出bn通項(xiàng)公式,然后按奇數(shù)與偶數(shù)分別求解數(shù)列的和即可.

解答 解:(1)因?yàn)?2{S_n}=a_n^2+{a_n}$①,所以$2{S_{n+1}}=a_{n+1}^2+{a_{n+1}}$②,
②-①得$2{a_{n+1}}=a_{n+1}^2-a_n^2+{a_{n+1}}-{a_n}$,
即(an+1-an-1)(an+1+an)=0,因?yàn)閍n+1+an>0,
所以an+1-an=1,從而{an}是首項(xiàng)為1,公差為1的
等差數(shù)列,因此an=n.
(2)因?yàn)?{b_n}={a_n}({3^{a_n}}-3)cosnπ$=$\left\{\begin{array}{l}{-n({3}^{n}-3),n為奇數(shù)}\\{n({3}^{n}-3),n為偶數(shù)}\end{array}\right.$
所以當(dāng)n為偶數(shù)時${T_n}=-({3^1}-3)+2•({3^2}-3)-3•({3^3}-3)+…+n({3^n}-3)$
=(-31+2•32-3•33+4•34-5•35+…+n•3n)+(3-2•3+3•3-4•3+…-3n).
設(shè)${A_n}=-3+2•{3^2}-3•{3^3}+…+n•{3^n}$,則$-3{A_n}={3^2}-2•{3^3}+3•{3^4}-…-n•{3^{n+1}}$,
所以$4{A_n}=-3+{3^2}-{3^3}+{3^4}-…+{3^n}+n•{3^{n+1}}$=$-\frac{3}{4}+(n+\frac{1}{4})•{3^{n+1}}$,
即${A_n}=\frac{1}{16}[-3+(4n+1)•{3^{n+1}}]$.
因此${T_n}=\frac{1}{16}[-3+(4n+1)•{3^{n+1}}]+(-\frac{3}{2}n)=\frac{{(4n+1)•{3^{n+1}}-24n-3}}{16}$.
當(dāng)n為奇數(shù)時 ${T_n}={T_{n-1}}+{b_n}=\frac{{-(4n+1)•{3^{n+1}}+24n+21}}{16}$,
所以Tn=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{-(4n+1)•{3}^{n+1}+24n+21}{16},n為奇數(shù)}\\{\frac{(4n+1)•{3}^{n+1}-24n-3}{16},n為偶數(shù)}\end{array}\right.$.

點(diǎn)評 本題考查等差數(shù)列的遞推關(guān)系式的應(yīng)用,通項(xiàng)公式的求法,數(shù)列求和,考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

12.若直角坐標(biāo)平面內(nèi)兩相異點(diǎn)A、B兩點(diǎn)滿足:
①點(diǎn)A、B都在函數(shù) f (x) 的圖象上;②點(diǎn)A、B關(guān)于原點(diǎn)對稱,
則點(diǎn)對 (A,B) 是函數(shù) f (x) 的一個“姊妹點(diǎn)對”.點(diǎn)對 (A,B) 與 (B,A) 可看作是同一個“姊妹點(diǎn)對”.已知函數(shù) f (x)=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+2x,x<0}\\{\frac{x+1}{e},x≥0}\end{array}\right.$,則 f (x) 的“姊妹點(diǎn)對”有(  )
A.0 個B.1 個C.2 個D.3 個

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

11.如圖幾何體由前向后方向的正投影面是平面EFGH,則該幾何體的主視圖是( 。
A.B.C.D.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題

7.已知直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=1+t}\\{y=3-2t}\end{array}$(t為參數(shù)),以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=2$\sqrt{2}sin(θ+\frac{π}{4})$,則直線l與曲線C相交的弦長為$\frac{2\sqrt{30}}{5}$.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

14.已知四棱錐P-ABCD底面ABCD是直角梯形,AB⊥AD,且AD與BC平行,AD=2AB=2BC=2,△PAD是以P為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形,且二面角P-AD-C為直二面角.
(1)求證:PD⊥平面PAB;
(2)求平面PAC與平面PCD所成銳二面角的余弦值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題

4.某幾何體的三視圖及相應(yīng)尺寸(單位:cm)如圖所示,則該幾何體的體積為$\frac{8}{3}$(cm3).

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

10.定義在R上的函數(shù)g(x)及二次函數(shù)h(x)滿足:g(x)+2g(-x)=ex+$\frac{2}{e^x}$-9,h(-2)=h(0)=1,且h(-3)=-2.
(1)求g(x)和h(x)的解析式;
(2)對于x1,x2∈[-1,1],均有h(x1)+ax1+5≥g(x2)-x2g(x2)成立,求a的取值范圍;
(3)設(shè)f(x)=$\left\{\begin{array}{l}g(x),(x>0)\\ h(x),(x≤0)\end{array}$,在(2)的條件下,討論方程f[f(x)]=a+5的解的個數(shù)情況.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

6.已知點(diǎn)C為圓(x+1)2+y2=8的圓心,P是圓上的動點(diǎn),點(diǎn)Q在圓的半徑CP上,且有點(diǎn)A(1,0)和AP上的點(diǎn)M,滿足$\overrightarrow{MQ}$•$\overrightarrow{AP}$=0,$\overrightarrow{AP}$=2$\overrightarrow{AM}$.
(1)當(dāng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動時,求點(diǎn)Q的軌跡方程;
(2)若直線y=kx+$\sqrt{{k}^{2}+1}$,(k>0)與(1)中所求點(diǎn)Q的軌跡交于不同的兩點(diǎn)F,H,O是坐標(biāo)原點(diǎn),且$\frac{2}{3}$≤$\overrightarrow{OF}$•$\overrightarrow{OH}$≤$\frac{3}{4}$時,求k的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

7.圓C經(jīng)過直線x+y-1=0與x2+y2=4的交點(diǎn),且圓C的圓心為(-2,-2),則過點(diǎn)(2,4)向圓C作切線,所得切線方程為( 。
A.5x-12y+38=0B.5x+12y+38=0
C.5x-12y+38=0或x=2D.5x+12y+38=0或x=4

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案