Question

【題目】已知橢圓，左、右頂點(diǎn)分別為，，上、下頂點(diǎn)分別為，，且，為等邊三角形，過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓在軸右側(cè)的部分交于、兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn).

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）求面積的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）由題意可得，，根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程即可求解.

（2）分類討論：當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，求出的面積；當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的斜率為，直線的方程為，將直線與橢圓聯(lián)立，利用韋達(dá)定理結(jié)合即可求出面積的最值.

（1）因?yàn)?/span>，所以，因?yàn)?/span>為等邊三角形，

所以，所以.

所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

（2）設(shè)的面積為.

①當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，可得，，

所以.

②當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的斜率為，

則直線的方程為，

設(shè)，，聯(lián)立，

化簡(jiǎn)得，

所以，，

，

因?yàn)?/span>，，所以，面積

，

令，則，，

由

則在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，

所以，綜上面積的取值范圍是.