Question

3．從焦點(diǎn)為F的拋物線(xiàn)y²=2px（p＞0）上取一點(diǎn)A（x₀，y₀）（x₀＞$\frac{p}{2}$）作其準(zhǔn)線(xiàn)的垂線(xiàn)，垂足為B，若|AF|=4，B到直線(xiàn)AF的距離為$\sqrt{7}$，則此拋物線(xiàn)的方程為y²=2x．

Answer 1

分析 設(shè)B到直線(xiàn)AF的距離為BC=$\sqrt{7}$，求出cos∠BAF=$\frac{3}{4}$，設(shè)F到AB的距離為AD，則|AD|=|AF|cos∠BAF=3，即可得出結(jié)論．

解答 解：設(shè)B到直線(xiàn)AF的距離為BC=$\sqrt{7}$，
由|AF|=|AB|=4，可得sin∠BAF=$\frac{\sqrt{7}}{4}$，
∴cos∠BAF=$\frac{3}{4}$，
設(shè)F到AB的距離為AD，則|AD|=|AF|cos∠BAF=3，∴p+|AD|=4，
∴p=1，
∴此拋物線(xiàn)的方程為y²=2x．
故答案為y²=2x．

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線(xiàn)的方程與性質(zhì)，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．