16.已知橢圓$Γ:\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$,過(guò)點(diǎn)P(1,1)的直線l與橢圓Γ相交于A,B兩點(diǎn),若弦AB恰好以點(diǎn)P為中點(diǎn),則直線l的方程為4y+3x-7=0.(寫(xiě)成一般式)

分析 將直線A,B坐標(biāo)代入橢圓方程,作差,求得$\frac{({x}_{1}+{x}_{2})({x}_{1}-{x}_{2})}{4}$+$\frac{({y}_{1}+{y}_{2})({y}_{1-}{y}_{2})}{3}$=0,利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式,即可求得直線AB的斜率,根據(jù)直線的點(diǎn)斜式方程,即可求得直線l的方程.

解答 解:設(shè)A,B點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(x1,y1),B(x2,y2),
由A,B在橢圓上,則$\frac{{x}_{1}^{2}}{4}+\frac{{y}_{1}^{2}}{3}=1$①,$\frac{{x}_{2}^{2}}{4}+\frac{{y}_{2}^{2}}{3}=1$②,
①-②得:$\frac{({x}_{1}+{x}_{2})({x}_{1}-{x}_{2})}{4}$+$\frac{({y}_{1}+{y}_{2})({y}_{1-}{y}_{2})}{3}$=0,
由AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為P(1,1),即$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=1,$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}$=1,
∴$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=-$\frac{3}{4}$,
由直線AB的斜率k=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=-$\frac{3}{4}$,
由直線的點(diǎn)斜式方程可知:y-1=-$\frac{3}{4}$(x-1),
整理得:4y+3x-7=0,
故答案為:4y+3x-7=0.

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線和橢圓的位置關(guān)系,考查點(diǎn)差法求直線方程的方法,注意運(yùn)用斜率公式和中點(diǎn)坐標(biāo)公式,考查運(yùn)算能力,屬于中檔題.

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