Question

【題目】如圖，某公園有三個(gè)警衛(wèi)室、、有直道相連，千米，千米，千米.

（1）保安甲沿從警衛(wèi)室出發(fā)行至點(diǎn)處，此時(shí)，求的直線距離；

（2）保安甲沿從警衛(wèi)室出發(fā)前往警衛(wèi)室，同時(shí)保安乙沿從警衛(wèi)室出發(fā)前往警衛(wèi)室，甲的速度為1千米/小時(shí)，乙的速度為2千米/小時(shí)，若甲乙兩人通過對(duì)講機(jī)聯(lián)系，對(duì)講機(jī)在公園內(nèi)的最大通話距離不超過3千米，試問有多長(zhǎng)時(shí)間兩人不能通話？（精確到0.01小時(shí)）

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

(1)由解直角三角形可得∠C=30°，在△BPC中由余弦定理可得BP的值；（2）設(shè)甲出發(fā)

后的時(shí)間為t小時(shí)，則由題意可知0≤t≤4，設(shè)甲在線段CA上的位置為點(diǎn)M，則AM=4﹣t，討論0≤t≤1時(shí)，當(dāng)1≤t≤4時(shí)，分別在△AMQ和△AMB中，運(yùn)用余弦定理和二次不等式的解法，即可得到所求結(jié)論．

（1）在Rt△ABC中，AB=2，BC=2，

所以∠C=30°，

在△PBC中PC=1，BC=2，

由余弦定理可得

BP2=BC2+PC2﹣2BCPCcos30°

=（2）2+1﹣2×2×1×=7，

即BP=；

（2）在Rt△ABC中，BA=2，BC=2，AC=4，

設(shè)甲出發(fā)后的時(shí)間為t小時(shí)，則由題意可知0≤t≤4，

設(shè)甲在線段CA上的位置為點(diǎn)M，則AM=4﹣t，

①當(dāng)0≤t≤1時(shí)，設(shè)乙在線段AB上的位置為點(diǎn)Q，則AQ=2t，

如圖所示，在△AMQ中，

由余弦定理得MQ2=（4﹣t）2+（2t）2﹣22t（4﹣t）cos60°=7t2﹣16t+16＞9，

解得t＜或t＞，

所以0≤t≤；

②當(dāng)1≤t≤4時(shí)，乙在警衛(wèi)室B處，在△ABM中，

由余弦定理得MB2=（4﹣t）2+4﹣22t（4﹣t）cos60°=t2﹣6t+12＞9，

解得t＜3﹣或t＞3+，又1≤t≤4，不合題意舍去．

綜上所述0≤t≤時(shí)，甲乙間的距離大于3千米，

所以兩人不能通話的時(shí)間為小時(shí)．