Question

設(shè)函數(shù)f（x）＝＋ax－lnx（a∈R）．
（Ⅰ）當(dāng)a＝1時(shí)，求函數(shù)f（x）的極值；
（Ⅱ）當(dāng)a≥2時(shí)，討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（Ⅲ）若對任意及任意，∈[1，2]，恒有成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

（Ⅰ），無極大值;（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減 ，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；（Ⅲ）．

解析試題分析：（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的極值,只需對函數(shù)求導(dǎo),求出導(dǎo)數(shù)等零點(diǎn),及在零點(diǎn)兩邊的單調(diào)性,注意, 求函數(shù)的極值不要忽略求函數(shù)的定義域;（Ⅱ）討論函數(shù)的單調(diào)性,只需判斷的導(dǎo)數(shù)在區(qū)間上的符號(hào),因此,此題先求導(dǎo),在判斷符號(hào)時(shí),發(fā)現(xiàn)參數(shù)的取值對有影響,需對參數(shù)討論,分,與兩種情況,從而確定單調(diào)區(qū)間;（Ⅲ）對任意及任意，∈[1，2]，恒有成立，只需求出的最大值即可.
試題解析：（Ⅰ）函數(shù)的定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/16/2/f9b1s.png" style="vertical-align:middle;" />，當(dāng)時(shí)， 令，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，，無極大值 ；
（Ⅱ）
，，①當(dāng)即時(shí)，上是減函數(shù)，②當(dāng)，即時(shí)，令，得,令，得
綜上，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減 ，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，當(dāng)時(shí)，上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，有最大值，當(dāng)時(shí)，有最小值，， ，
而經(jīng)整理得 ．
考點(diǎn)：函數(shù)與導(dǎo)數(shù)，導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性、導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值，導(dǎo)數(shù)與不等式的綜合應(yīng)用，考查學(xué)生的基本推理能力，考查學(xué)生的基本運(yùn)算能力以及轉(zhuǎn)化與化歸的能力.