(1)若對(duì)于任意的n∈N*,總有
n+2
n(n+1)
=
A
n
+
B
n+1
成立,求常數(shù)A,B的值;
(2)在數(shù)列{an}中,a1=
1
2
,an=2an-1+
n+2
n(n+1)
(n≥2,n∈N*),求通項(xiàng)an;
(3)在(2)題的條件下,設(shè)bn=
n+1
2(n+1)an+2
,從數(shù)列{bn}中依次取出第k1項(xiàng),第k2項(xiàng),…第kn項(xiàng),按原來的順序組成新的數(shù)列{cn},其中cn=bkn,其中k1=m,kn+1-kn=r∈N*.試問是否存在正整數(shù)m,r使
lim
n→+∞
(c1+c2+…+cn)=S
4
61
<S<
1
13
成立?若存在,求正整數(shù)m,r的值;不存在,說明理由.
分析:(1)由題設(shè)得(A+B)n+A=n+2恒成立,所以
A+B=1
A=2
?
A=2,B=-1.
(2)由an=2an-1+
n+2
n(n+1)
(n≥2)和
n+2
n(n+1)
=
2
n
-
1
n+1
知,an+
1
n+1
=2an-1+
2
n
=2(an-1+
1
n
)
,且a1+
1
2
=1
,由此能推導(dǎo)出an=2n-1-
1
n+1

(3)假設(shè)存在正整數(shù)m,r滿足題設(shè),由an=2n-1-
1
n+1
,bn=
n+1
2(n+1)an+2
=
1
2n
,又cn=bkn
cn+1
cn
=
bkn+1
bkn
=(
1
2
)kn+1-kn=
1
2r
,c1=bk1=
1
2m
.于是S=
lim
n→+∞
(c1+c2++cn)
=
1
2m
1-
1
2r
=
1
2m-2m-r
,由此能推導(dǎo)出存在正整數(shù)m,r滿足題設(shè),m=4,r=3或m=4,r=4.
解答:解:(1)由題設(shè)得A(n+1)+Bn=n+2即(A+B)n+A=n+2恒成立,
所以
A+B=1
A=2
?
A=2,B=-1.(4分)
(2)由題設(shè)an=2an-1+
n+2
n(n+1)
(n≥2)又
n+2
n(n+1)
=
2
n
-
1
n+1
得,an+
1
n+1
=2an-1+
2
n
=2(an-1+
1
n
)
,且a1+
1
2
=1
,
{an+
1
n+1
}
是首項(xiàng)為1,公比為2的等比數(shù)列,(8分)
所以an+
1
n+1
=2n-1
.即an=2n-1-
1
n+1
為所求.(9分)
(3)假設(shè)存在正整數(shù)m,r滿足題設(shè),由(2)知an=2n-1-
1
n+1

顯然bn=
n+1
2(n+1)an+2
=
1
2n

cn=bkn
cn+1
cn
=
bkn+1
bkn
=(
1
2
)kn+1-kn=
1
2r
,
c1=bk1=
1
2m
即{cn}是以
1
2m
為首項(xiàng),
1
2r
為公比的等比數(shù)列.(11分)
于是S=
lim
n→+∞
(c1+c2++cn)
=
1
2m
1-
1
2r
=
1
2m-2m-r
,(12分)
4
61
<S<
1
13
13<2m-2m-r
61
4
,m,r∈N*,
所以2m-2m-r=14或15,(14分)
當(dāng)2m-2m-r=14時(shí),m=4,r=3;
當(dāng)2m-2m-r=15時(shí),m=4,r=4;
綜上,存在正整數(shù)m,r滿足題設(shè),m=4,r=3或m=4,r=4.(16分)
點(diǎn)評(píng):本題考查數(shù)列中參數(shù)的求法、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和以極限為載體考查數(shù)列性質(zhì)的綜合運(yùn)用,解題時(shí)要認(rèn)真審題,仔細(xì)解答.
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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知:數(shù)列{an}滿足an+1=
4an-2
an+1
,其中n∈N,首項(xiàng)為a0
(1)若對(duì)于任意的n∈N,數(shù)列{an}還滿足an=p(p為常數(shù)),試求a0的值;
(2)若存在a0,使數(shù)列{an}滿足:對(duì)任意正整數(shù)n,均有an<an+1,求a0的取值范圍.;
(3)若a0=4,求滿足不等式an≤2
16
65
的自然數(shù)n的集合

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知:數(shù)列{an}滿足an+1=
4an-2
an+1
,其中n∈N,首項(xiàng)為a0
(1)若對(duì)于任意的n∈N,數(shù)列{ an}還滿足an=p(p為常數(shù)),試求a0的值;
(2)若a0=4,求滿足不等式an≤2
16
65
的自然數(shù)n的集合;
(3)若存在a0,使數(shù)列{ an}滿足:對(duì)任意正整數(shù)n,均有an<an+1,求a0的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知{an}是遞增數(shù)列,其前n項(xiàng)和為Sn,a1>1,且10Sn=(2an+1)(an+2),n∈N*
(Ⅰ)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)an;
(Ⅱ)是否存在m,n,k∈N*,使得2(am+an)=ak成立?若存在,寫出一組符合條件的m,n,k的值;若不存在,請(qǐng)說明理由;
(Ⅲ)設(shè)bn=an-
n-3
2
,cn=
2(n+3)an
5n-1
,若對(duì)于任意的n∈N*,不等式
5
m
31(1+
1
b1
)(1+
1
b2
)…(1+
1
bn
)
-
1
cn+1+n-1
≤0恒成立,求正整數(shù)m的最大值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2011年上海市浦東新區(qū)高考數(shù)學(xué)一模試卷(文科)(解析版) 題型:解答題

(1)若對(duì)于任意的n∈N*,總有成立,求常數(shù)A,B的值;
(2)在數(shù)列{an}中,,(n≥2,n∈N*),求通項(xiàng)an;
(3)在(2)題的條件下,設(shè),從數(shù)列{bn}中依次取出第k1項(xiàng),第k2項(xiàng),…第kn項(xiàng),按原來的順序組成新的數(shù)列{cn},其中,其中k1=m,kn+1-kn=r∈N*.試問是否存在正整數(shù)m,r使成立?若存在,求正整數(shù)m,r的值;不存在,說明理由.

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