已知x∈R,a∈R且a≠0,向量
OA
=(acos2x,1),
OB
=(2,
3
asin2x-a),f(x)=
OA
OB

(Ⅰ)求函數(shù)f(x)的解析式,并求當(dāng)a>0時(shí),f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;
(Ⅱ)當(dāng)x∈[0,
π
2
]時(shí),f(x)的最大值為5,求a的值.
(Ⅲ)當(dāng)a=1時(shí),若不等式|f(x)-m|<2在x∈[0,
π
2
]上恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
考點(diǎn):函數(shù)恒成立問題,函數(shù)解析式的求解及常用方法,平面向量數(shù)量積的運(yùn)算
專題:計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,平面向量及應(yīng)用
分析:(Ⅰ)化簡f(x)=2asin(2x+
π
6
),求單調(diào)區(qū)間;(Ⅱ)討論a的正負(fù),確定最大值,求a;(Ⅲ)化簡不等式,轉(zhuǎn)化恒成立問題為函數(shù)的最值問題.
解答: 解:(Ⅰ)f(x)=
OA
OB
=2acos2x+
3
asin2x-a
=2asin(2x+
π
6
),
∵a>0,
∴2kπ-
π
2
≤2x+
π
6
≤2kπ+
π
2
(k∈Z)
∴函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為[kπ-
π
3
,kπ+
π
6
](k∈Z)
(Ⅱ)f(x)=2asin(2x+
π
6
),
當(dāng)x∈[0,
π
2
]時(shí),2x+
π
6
∈[
π
6
,
6
];
若a>0,2a=5,則a=
5
2
;
若a<0,-a=5,則a=-5;
綜上所述,a=-5或a=
5
2

(Ⅲ)∵|f(x)-m|<2在x∈[0,
π
2
]上恒成立,
∴f(x)-2<m<f(x)+2,x∈[0,
π
2
]上恒成立,
∴f(x)max-2<m<f(x)min+2,x∈[0,
π
2
]
∵f(x)=2sin(2x+
π
6
)在[0,
π
2
]上的最大值為2,最小值為-1.
∴0<m<1.
即實(shí)數(shù)m的取值范圍為(0,1).
點(diǎn)評:本題考查了平面向量的應(yīng)用,三角函數(shù)的單調(diào)性與最值,三角函數(shù)的化簡,恒成立問題的處理及分類討論的數(shù)學(xué)思想,綜合性很強(qiáng),屬于難題.
練習(xí)冊系列答案
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過點(diǎn)E(-
p
2
,0)的直線與拋物線y2=2px(p>0)交于A、B兩點(diǎn),F(xiàn)是拋物線的焦點(diǎn),若A為線段EB的中點(diǎn),且|AF|=3,則p=( �。�
A、1B、2C、3D、4

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已知數(shù)列{an}中,a1=1,an+1=2an+1,令bn=an+1-an
(1)證明:數(shù)列{bn}是等比數(shù)列;
(2)設(shè)數(shù)列{nan}的前n項(xiàng)和為Sn,求使Sn+
n(n+1)
2
>120成立的正整數(shù)n的最小值.

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定義y=log(1+x)F(x,y),x>0,y>0.
(1)比較F(1,3)與F(2,2)的大小;
(2)若e<x<y,證明:F(x-1,y)>F(y-1,x);
(3)設(shè)函數(shù)f(x)=F[1,log2(x3+ax2+bx+1)]的圖象為曲線C.曲線C在x0處的切線的斜率為k,若x0∈(1,1-a)且存在實(shí)數(shù)b使得k=-4,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

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設(shè)a,b,c是周長不超過2π的三角形邊長,判斷sina,sinb,sinc能否構(gòu)成三角形?請分類討論.

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已知函數(shù)f(x)=
x2+2x+a
x
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邊長為4的菱形ABCD中,∠A=60°,E為線段CD上的中點(diǎn),以BE為折痕,將△ACE折起,使得二面角C-BE-C成θ角(如圖)
(Ⅰ)當(dāng)θ在(0,π)內(nèi)變化時(shí),直線AD與平面BCE是否會(huì)平行?請說明理由;
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某商店為了吸引顧客,設(shè)計(jì)了一個(gè)摸球小游戲,顧客從裝有1個(gè)紅球,1個(gè)白球,3個(gè)黑球的袋中一次隨機(jī)的摸2個(gè)球,設(shè)計(jì)獎(jiǎng)勵(lì)方式如下表:
結(jié)果獎(jiǎng)勵(lì)
1紅1白10元
1紅1黑5元
2黑2元
1白1黑不獲獎(jiǎng)
(1)某顧客在一次摸球中獲得獎(jiǎng)勵(lì)X元,求X的概率分布表與數(shù)學(xué)期望;
(2)某顧客參與兩次摸球,求他能中獎(jiǎng)的概率.
闂傚倸鍊搁崐鎼佸磹閹间礁纾归柟闂寸绾惧綊鏌i幋锝呅撻柛銈呭閺屾盯骞橀懠顒夋М闂佹悶鍔嶇换鍐Φ閸曨垰鍐€妞ゆ劦婢€缁墎绱撴担鎻掍壕婵犮垼娉涢鍕崲閸℃稒鐓忛柛顐g箖閸f椽鏌涢敐鍛础缂佽鲸甯¢幃鈺呮濞戞帗鐎伴梻浣告惈閻ジ宕伴弽顓犲祦闁硅揪绠戠粻娑㈡⒒閸喓鈯曟い鏂垮濮婄粯鎷呴崨濠傛殘婵烇絽娲﹀浠嬫晲閻愭潙绶為柟閭﹀劦閿曞倹鐓曢柡鍥ュ妼閻忕姵淇婇锝忚€块柡灞剧洴閳ワ箓骞嬪┑鍥╀壕缂傚倷绀侀鍛崲閹版澘鐓橀柟杈鹃檮閸婄兘鏌ょ喊鍗炲闁告柨鎲$换娑氣偓娑欋缚閻倕霉濠婂簼绨绘い鏇稻缁绘繂顫濋鐔割仧闂備胶绮灙閻忓繑鐟╁畷鎰版倷閻戞ǚ鎷洪柣搴℃贡婵敻濡撮崘鈺€绻嗛柣鎰綑濞搭喗顨ラ悙宸剱妞わ妇澧楅幆鏃堟晲閸ラ搴婇梻鍌欒兌缁垶宕濋敃鍌氱婵炲棙鎸哥粈澶愭煏閸繃顥撳ù婊勭矋閵囧嫰骞樼捄鐩掋垽鏌涘Ο铏规憼妞ゃ劊鍎甸幃娆撳箵閹烘挻顔勯梺鍓х帛閻楃娀寮诲☉妯锋闁告鍋為悘鍫熺箾鐎电ǹ顎岄柛娆忓暙椤繘鎼归崷顓狅紲濠殿喗顨呭Λ娆撴偩閸洘鈷戠紓浣癸供濞堟棃鏌ㄩ弴銊ら偗闁绘侗鍠涚粻娑樷槈濞嗘垵濮搁柣搴$畭閸庡崬螞瀹€鍕婵炲樊浜濋埛鎴︽煕濞戞﹫鍔熺紒鐘虫崌閹顫濋悡搴$睄闂佽桨绀佺粔鐟邦嚕椤曗偓瀹曟帒饪伴崪鍐簥闂傚倷绀侀幖顐ゆ偖椤愶箑纾块柟鎯板Г閸嬧晜绻涘顔荤凹闁绘挻绋戦湁闁挎繂鎳忛幉鎼佸极閸惊鏃堟偐闂堟稐绮跺┑鐐叉▕閸欏啴濡存笟鈧浠嬵敇閻愰潧骞愰梻浣告啞閸旀垿宕濆澶嬪€堕柛顐犲劜閸婄敻鎮峰▎蹇擃仾缂佲偓閸愨斂浜滈柕濞垮劵闊剚顨ラ悙璇ц含鐎殿喕绮欓、姗€鎮欓棃娑樼闂傚倷绀侀幉锟犲礉閹达箑绀夐幖娣妼绾惧綊鏌ㄩ悤鍌涘

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甲乙兩位同學(xué)參加數(shù)學(xué)競賽培訓(xùn).現(xiàn)分別從他們在培訓(xùn)期間參加的若干次預(yù)賽成績中隨機(jī)抽取8次,記錄如下:
甲 82  81  79  78  95  88  93  84
乙 92  95  80  75  83  80  90  85
(1)用莖葉圖表示這兩組數(shù)據(jù);
(2)現(xiàn)要選派一人參加數(shù)學(xué)競賽,從統(tǒng)計(jì)學(xué)的角度考慮,你認(rèn)為選派哪位學(xué)生參加合適?
(3)若將頻率視為概率,求甲同學(xué)在今后的數(shù)學(xué)競賽成績高于80的概率.

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同步練習(xí)冊答案
闂傚倸鍊搁崐鎼佸磹閹间礁纾归柟闂寸绾惧綊鏌i幋锝呅撻柛銈呭閺屻倝宕妷锔芥瘎婵炲濮甸懝楣冨煘閹寸偛绠犻梺绋匡攻椤ㄥ棝骞堥妸褉鍋撻棃娑欏暈鐎规洖寮堕幈銊ヮ渻鐠囪弓澹曢梻浣虹帛娓氭宕板☉姘变笉婵炴垶菤濡插牊绻涢崱妯哄妞ゅ繒鍠栧缁樻媴閼恒儳銆婇梺闈╃秶缁犳捇鐛箛娑欐櫢闁跨噦鎷� 闂傚倸鍊搁崐鎼佸磹閹间礁纾归柟闂寸绾惧綊鏌熼梻瀵割槮缁炬儳缍婇弻鐔兼⒒鐎靛壊妲紒鐐劤缂嶅﹪寮婚悢鍏尖拻閻庨潧澹婂Σ顔剧磼閻愵剙绀冩い鏇嗗洤鐓橀柟杈鹃檮閸嬫劙鏌涘▎蹇fЧ闁诡喗鐟х槐鎾存媴閸濆嫷鈧矂鏌涢妸銉у煟鐎殿喖顭锋俊鎼佸煛閸屾矮绨介梻浣呵归張顒傜矙閹达富鏁傞柨鐕傛嫹