Question

已知焦點(diǎn)在軸，頂點(diǎn)在原點(diǎn)的拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（2，2），以上一點(diǎn)為圓心的圓過(guò)定點(diǎn)（0，1），記為圓與軸的兩個(gè)交點(diǎn)．

（1）求拋物線的方程；

（2）當(dāng)圓心在拋物線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，試判斷是否為一定值？請(qǐng)證明你的結(jié)論；

（3）當(dāng)圓心在拋物線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，記，，求的最大值．

 

Answer 1

（1）；（2）；（3）

【解析】

試題分析：（1）求拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的常用方法是待定系數(shù)法，其關(guān)鍵是判斷焦點(diǎn)位置，開(kāi)口方向，在方程的類(lèi)型已經(jīng)確定的前提下，由于標(biāo)準(zhǔn)方程只有一個(gè)參數(shù)，只需一個(gè)條件就可以確定拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）在解決與拋物線性質(zhì)有關(guān)的問(wèn)題時(shí)，要注意利用幾何圖形的形象、直觀的特點(diǎn)來(lái)解題，特別是涉及焦點(diǎn)、頂點(diǎn)、準(zhǔn)線的問(wèn)題更是如此；（3）圓的弦長(zhǎng)的常用求法：（1）幾何法：求圓的半徑，弦心距，弦長(zhǎng)，則（2）代數(shù)方法：運(yùn)用根與系數(shù)的關(guān)系及弦長(zhǎng)公式；（4）基本不等式的使用求最值．

試題解析：（1）由已知，設(shè)拋物線方程為，，解得．

所求拋物線的方程為．-------3分

（2）法1:設(shè)圓心，則圓的半徑=

圓C2的方程為．

令，得，得．

（定值）．

法2:設(shè)圓心，因?yàn)閳A過(guò)，所以半徑=，

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015022006020929036787/SYS201502200602200251789530_DA/SYS201502200602200251789530_DA.027.png">在拋物線上，，且圓被軸截得的弦長(zhǎng)

=（定值）

（3）由（2）知，不妨設(shè)，

考點(diǎn)：（1）求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）求弦長(zhǎng)為定值；（3）求最大值問(wèn)題．