Question

（2013•東城區(qū)一模）如圖，已知ACDE是直角梯形，且ED∥AC，平面ACDE⊥平面ABC，∠BAC=∠ACD=90°，AB=AC=AE=2，ED=

1

2

AB，P是BC的中點．
（Ⅰ）求證：DP∥平面EAB；
（Ⅱ）求平面EBD與平面ABC所成銳二面角大小的余弦值．

Answer 1

分析：（I）取AB的中點F，連接PF，EF．利用三角形的中位線定理可得FP

∥

.

1

2

AC．再利用已知條件和平行四邊形的判定定理可得四邊形EFPD是平行四邊形，可得PD∥EF．利用線面平行的判定定理即可得出；
（II）通過建立空間直角坐標(biāo)系，利用兩個平面的法向量的夾角即可得出二面角．

解答：（I）證明：取AB的中點F，連接PF，EF．
又∵P是BC的中點，∴FP

∥

.

1

2

AC．
∵ED=

1

2

AB=

1

2

AC，ED∥AC，
∴FP

∥

.

ED，
∴四邊形EFPD是平行四邊形，
∴PD∥EF．
而EF?平面EAB，PD?平面EAB，
∴PD∥平面EAB．
（II）∵∠BAC=90°，平面ACDE⊥平面ABC，∴BA⊥平面ACDE．
以點A為坐標(biāo)原點，直線AB為x軸，AC為y軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則z軸在平面EACD內(nèi)．則A（0，0，），B（2，0，0），E(0，1，

3

)，D(0，2，

3

)．
∴

EB

=(2，-1，-

3

)，

ED

=(0，1，0)．
設(shè)平面EBD的法向量

n

=(x，y，z)，由

n • EB =0 n • ED =0

，得

2x-y- 3 z=0 y=0

，
取z=2，則x=

3

，y=0．∴

n

=(

3

，0，2)．
可取

m

=(0，0，1)作為平面ABC的一個法向量，
∴cos＜

m

，

n

＞=

m • n

| m | | n |

=

2

7

=

2 7

7

．
即平面EBD與平面ABC所成銳二面角大小的余弦值為

2 7

7

．

點評：熟練掌握三角形的中位線定理、平行四邊形的判定和性質(zhì)定理、線面平行的判定定理、面面垂直的性質(zhì)定理、通過建立空間直角坐標(biāo)系并利用兩個平面的法向量的夾角得出二面角等是解題的關(guān)鍵．