Question

過點F（0，1）作直線l與拋物線x²=4y相交于兩點A、B，圓C：x²+（y+1）²=1
（1）若拋物線在點B處的切線恰好與圓C相切，求直線l的方程；
（2）過點A、B分別作圓C的切線BD、AE，試求|AB|²-|AE|²-|BD|²的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先求拋物線過點B的切線方程，利用點B處的切線恰好與圓C相切及點B在拋物線即可求得點B坐標，從而可求直線方程；
（2）由已知，直線l的斜率存在，則設直線l的方程為：y=kx+1，與x²=4y聯立，再分別表示出各線段長，即可求得|AB|²-|AE|²-|BD|²的取值范圍．

解答：解：（1）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
由x²=4y，得y/=

1

2

x，則過點B的切線方程為：

x2

2

x-y+y2-

x 2 2

2

=0
由已知：點B處的切線恰好與圓C相切，y2=

x 2 2

4

∴x2=±2

3

，y2=3，即點B坐標為(±2

3

，3)，
∴直線l的方程為：y=±

3

3

x+1
（Ⅱ）
法一：由已知，直線l的斜率存在，則設直線l的方程為：y=kx+1，
聯立x²=4y，得x²-4kx-4=0，∴x₁+x₂=4k，x₁x₂=-4
∴x₁²+x₂²=16k²+8
∴|AB|²-|AE|²-|BD|²=（-2-2k²）x₁x₂-4k（x₁+x₂）-6=-8k²+2≤2
∴|AB|²-|AE|²-|BD|²的取值范圍是（-∞，2]
法二：根據題意，連接AC、AB﹑EC﹑ED．設直線l的方程為：y=kx+1，
聯立x²=4y可得x²-4kx-4=0，∴x₁+x₂=4k，x₁x₂=-4
|AE|²=|AC|²-|EC|²=x₁²+（y₁+1）²-1．
同理，|BD|²=x₂²+（y₂+1）²-1．
又|AB|²=（y₁+y₂+2）²
∴|AB|²-|AE|²-|BD|²=2x₁x₂+4（x₁+x₂）-（y₁²+y₂²）-2（y₁+y₂）+4=-8k²+2≤2．
∴|AB|²-|AE|²-|BD|²的取值范圍是（-∞，2]

點評：本題主要考查拋物線的定義和直線與曲線的相切問題，解決此類問題的必須熟悉曲線的定義和曲線的圖形特征，這也是高考常考的知識點