Question

M、N是x²+y²=4上兩點(diǎn)，若點(diǎn)A（1，0）滿足MA⊥NA，求|MN|范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

專(zhuān)題：直線與圓

分析：根據(jù)MA⊥NA，確定A，MN滿足的條件，利用數(shù)形結(jié)合即可得到結(jié)論．

解答： 解：∵M(jìn)、N是x²+y²=4上兩點(diǎn)，若滿足MA⊥NA，
∴點(diǎn)A位于MN為直線的圓上，當(dāng)AC垂直MN時(shí)，MN的長(zhǎng)度取得最大（圓在A左側(cè)）值和最小值（圓在A右側(cè)），
此時(shí)直線AM的傾斜角為45°，AM的方程為y=x-1，得x=y+1，
代入x²+y²=4得2y²+2y-3=0，
解得y_M=

-1+2 2

2

或y_M′=

-1-2 2

2

，
則|MN|的最小值為2|y_M|=2×

-1+2 2

2

=2

2

-1，
|MN|的最大值為2|y_M′|=2×|

-1-2 2

2

|=2

2

+1，
故2

2

-1≤|MN|≤2

2

-1．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查直線和圓相交弦長(zhǎng)的范圍的求解，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．