已知圓O:x2+y2=2交x軸于A、B兩點,曲線C是以AB為長軸,離心率為
2
2
的橢圓,其左焦點為F,若P是圓O上一點,連結PF,過原點O作直線PF的垂線交直線x=-2于點Q.
(Ⅰ) 求橢圓C的標準方程;
(Ⅱ) 若點P的坐標為(1,1)求證:直線PQ與圓O相切;
(Ⅲ) 試探究:當點P在圓O上運動時(不與A、B重合),直線PQ與圓O是否保持相切的位置關系?若是,請證明;若不是,請說明理由.
考點:直線與圓錐曲線的綜合問題
專題:圓錐曲線中的最值與范圍問題
分析:(I)由已知得a=
2
,e=
2
2
,由此能求出橢圓C的標準方程.
(Ⅱ)由已知得直線OQ的方程為y=-2x,從而點Q(-2,4),kOP⊥kPQ,由此能證明直線PQ與圓O相切.
(Ⅲ)當點P在圓O上運動時,直線PQ與圓O保持相切.設P(x0,y0),(x0≠±
2
),則y02=2-x02,直線OQ的方程為y=-
x0+1
y0
x
,由此入手能證明直線PQ始終與圓O相切.
解答: (I)解:∵圓O:x2+y2=2交x軸于A、B兩點,
曲線C是以AB為長軸,離心率為
2
2
的橢圓,
∴a=
2
,e=
2
2
,解得c=1,b=1,
∴橢圓C的標準方程為
x2
2
+y2=1
.…(4分)
(Ⅱ)證明:∵P(1,1),∴kPF=
1
2
,∴kOQ=-2,
∴直線OQ的方程為y=-2x,
∴點Q(-2,4)…(6分)
∴kPQ=-1,又kOP=1,∴kOP⊥kPQ,
即OP⊥PQ,故直線PQ與圓O相切.…(8分)
(Ⅲ)解:當點P在圓O上運動時,直線PQ與圓O保持相切,…(9分)
證明如下:設P(x0,y0),(x0≠±
2
),則y02=2-x02,
kPF=
y0
x0+1
kOQ=-
x0+1
y0
,
∴直線OQ的方程為y=-
x0+1
y0
x
,
∴點Q(-2,
2x0+2
y0
),…(11分)
∴kPQ=
y0-
2x0+2
y0
x0+2
=
y02-(2x0+2)
(x0+2)y0

=
-x02-2x0
(x0+2)y0
=-
x0
y0

又kOP=
y0
x0
,…(13分)
∴kOP•kPQ=-1,即OP⊥PQ,故直線PQ始終與圓O相切.…(14分)
點評:本題考查橢圓標準方程的求法,考查直線與圓相切的證明,考查直線與圓的位置關系的判斷與證明,解題時要注意函數(shù)與方程思想的合理運用.
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

以下四個命題中既是特稱命題又是真命題的為(  )
A、銳角三角形的內角是銳角或鈍角
B、存在一個負數(shù)x,使
1
x
>2
C、兩個無理數(shù)的和必是無理數(shù)
D、至少有一個實數(shù)x,使x2≤0

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

sin(2014π)=( 。
A、-1
B、1
C、
3
2
D、0

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

要得到y(tǒng)=
3
sin2x-cos2x的圖象,可將函數(shù)y=4sinxcosx的圖象(  )
A、向左平行移動
π
12
個單位長度
B、向右平行移動
π
12
個單位長度
C、向左平行移動
π
6
個單位長度
D、向右平行移動
π
6
個單位長度

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

如圖,已知△ABC的兩條角平分線AD和CE相交于H,B,E,H,D四點共圓,F(xiàn)在AC上,且∠DEC=∠FEC.
(I)求∠B的度數(shù);
(Ⅱ)證明:AE=AF.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知點P(1,3)和⊙O:x2+y2=3,過點P的直線L與⊙O相交于不同兩點A、B,在線段AB上取一點Q,滿足
AP
=-λ
PB
,
AQ
QB
(λ≠0且λ≠±1),求證:點Q總在某定直線上.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=-
1
3
ex3+
1
2
x2+
2
e
x,g(x)=f(x)-
2
e
x+ex(x-1),函數(shù)g(x)的導函數(shù)為g′(x),其中e=2.71828…為自然對數(shù)的底數(shù).
(Ⅰ)求f(x)的極值;
(Ⅱ)求g(x)的單調區(qū)間;
(Ⅲ)當x>0時,求證:g′(x)≥1+lnx.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

設函數(shù)f(x)=x(ex-1)-ax2(e=2071828…是自然對數(shù)的底數(shù)).
(I)若a=
1
2
,求f(x)的單調區(qū)間;
(Ⅱ)若當x≥0時f(x)≥0,求a的取值范圍;
(Ⅲ)設n∈N*,x>0,求證:ex>1+
x
1!
+
x2
2!
+…+
xn
n!
n!=n×(n-1)×…×2×1.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知函數(shù)g(x)=loga(1-x),h(x)=loga(x+3)(0<a<1).
(1)設f(x)=g(x)+h(x),若函數(shù)f(x)的最小值是-2,求a的值;
(2)設F(x)=g(x)-h(x),用定義證明函數(shù)F(x)在定義域上是增函數(shù).

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