Question

函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<)的部分圖象如圖所示.

(1)求f(x)的最小正周期及解析式.
(2)設(shè)g(x)=f(x)-cos2x,求函數(shù)g(x)在區(qū)間[0,]上的最大值和最小值.

Answer 1

(1) f(x)=sin(2x+)
(2) 當(dāng)2x-=,即x=時(shí),g(x)取最大值為1;
當(dāng)2x-=-,即x=0時(shí),g(x)取最小值為-.

【思路點(diǎn)撥】(1)由圖象及題設(shè)中的限制條件可求A,ω,φ.
(2)將f(x)代入g(x)整理化簡(jiǎn)為一個(gè)三角函數(shù),再由x的范圍求最值即可.
解：(1)由圖可得A=1,=-=,所以T=π,所以ω=2.
當(dāng)x=時(shí),f(x)=1,
可得sin(2×+φ)=1,
因?yàn)閨φ|<,所以φ=.
所以f(x)的解析式為f(x)=sin(2x+).
(2)g(x)=f(x)-cos2x
=sin(2x+)-cos2x
=sin2xcos+cos2xsin-cos2x
=sin2x-cos2x
=sin(2x-).
因?yàn)?≤x≤,所以-≤2x-≤.
當(dāng)2x-=,即x=時(shí),g(x)取最大值為1;
當(dāng)2x-=-,即x=0時(shí),g(x)取最小值為-.
【方法技巧】由圖象求解析式和性質(zhì)的方法和技巧
(1)給出圖象求y=Asin(ωx+φ)+b的解析式的難點(diǎn)在于ω,φ的確定,本質(zhì)為待定系數(shù),基本方法是①尋找特殊點(diǎn)(平衡點(diǎn)、最值點(diǎn))代入解析式;②圖象變換法,即考察已知圖象可由哪個(gè)函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)變換得到,通�？捎善胶恻c(diǎn)或最值點(diǎn)確定周期T,進(jìn)而確定ω.
(2)由圖象求性質(zhì)的時(shí)候,首先確定解析式,再根據(jù)解析式求其性質(zhì),要緊扣基本三角函數(shù)的性質(zhì).例如,單調(diào)性、奇偶性、周期性和對(duì)稱性等都是考查的重點(diǎn)和熱點(diǎn).