Question

若兩條異面直線所成的角為90°，則稱這對(duì)異面直線為“理想異面直線對(duì)”，在連接正方體各頂點(diǎn)的所有直線中，“理想異面直線對(duì)”的對(duì)數(shù)為（　　）

• A、24
• B、48
• C、72
• D、78

Answer 1

分析：可把連接正方體各頂點(diǎn)的所有直線分成3組，棱，面上的對(duì)角線，體對(duì)角線，分別組合，找出可能的”理想異面直線對(duì)”，再相加即可．

解答：解：先把連接正方體各頂點(diǎn)的所有直線有三種形式．
分別是正方體的棱，有12條，各面對(duì)角線，有12條，體對(duì)角線，有4條．
分幾種情況考慮
第一種，各棱之間構(gòu)成的“理想異面直線對(duì)”，每條棱有4條棱和它垂直，∴共有

4×12

2

=24對(duì)
第二種，各面上的對(duì)角線之間構(gòu)成的“理想異面直線對(duì)”，每相對(duì)兩面上有2對(duì)互相垂直的異面對(duì)角線，∴共有

2×6

2

=6對(duì)
第三種，各棱與面上的對(duì)角線之間構(gòu)成的“理想異面直線對(duì)”，每條棱有2條面上的對(duì)角線和它垂直，共有2×12=24對(duì)
第四種，各體對(duì)角線與面上的對(duì)角線之間構(gòu)成的“理想異面直線對(duì)”，每條體對(duì)角線有6條面上的對(duì)角線和它垂直，共有6×4=24對(duì)
最后，把各種情況得到的結(jié)果相加，得，24+6+24+24=78對(duì)
故選D

點(diǎn)評(píng)：本題考查了異面直線的判斷，屬于基礎(chǔ)題．