Question

11．已知數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，其前n項的和為S_n，a₁+2a₂=0，S₄-S₂=$\frac{1}{8}$．求a_n，S_n的表達式．

Answer 1

分析 根據(jù)條件建立方程關(guān)系求出公比q和首項，即可得到結(jié)論．

解答 解：∵a₁+2a₂=0，
∴a₁=-2a₂，
則q=$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$=$\frac{{a}_{2}}{-2{a}_{2}}$=$-\frac{1}{2}$，
∵S₄-S₂=$\frac{1}{8}$．
∴a₄+a₃=$\frac{1}{8}$．
即a₁（q³+q²）=$\frac{1}{8}$．
即a₁[（$-\frac{1}{2}$）³+（$-\frac{1}{2}$）²]=$\frac{1}{8}$．
則$\frac{1}{8}$a₁=$\frac{1}{8}$．
得a₁=1，
則a_n=a₁q^n-1=（$-\frac{1}{2}$）^n-1，
S_n=$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{n}）}{1-q}$=$\frac{1-（-\frac{1}{2}）^{n}}{1-（-\frac{1}{2}）}$=$\frac{2}{3}$-$\frac{2}{3}$（$-\frac{1}{2}$）ⁿ．

點評 本題主要考查等比數(shù)列通項公式和前n項和公式的計算，根據(jù)條件建立方程關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．