Question

關(guān)于x的方程（x²-1）²-|x²-1|+k=0．
（Ⅰ）當(dāng)k=0時(shí)，寫出方程的所有實(shí)數(shù)解；
（Ⅱ）求實(shí)數(shù)k的范圍，使得方程恰有8個(gè)不同的實(shí)數(shù)解．

Answer 1

考點(diǎn)：根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）利用換元法，將方程轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的一元二次方程，即可求出方程的所有實(shí)數(shù)解；
（Ⅱ）根據(jù)方程有8個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，確定對(duì)應(yīng)的等價(jià)條件，即可求出k的取值范圍．

解答： 解；（Ⅰ）據(jù)題意可令|x²-1|=t（t≥0）①，
則方程化為t²-t+k=0②，
當(dāng)k=0時(shí)，
方程等價(jià)為t²-t=0，
解得t=0或t=1，
∴對(duì)應(yīng)x=±1，x=±

2

，x=0，
即方程的所有實(shí)數(shù)解為0，±1，±

2

．
（Ⅱ）當(dāng)方程②有兩個(gè)不等正根時(shí)，

△＞0 t1+t2＞0 t1t2＞0

，得0＜k＜

1

4

，
此時(shí)方程②有兩個(gè)根且均小于1大于0，
故相應(yīng)的滿足方程的解有8個(gè)，
即原方程的解有8個(gè)，
∴0＜k＜

1

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)方程根的個(gè)數(shù)的判斷和應(yīng)用，利用換元法是解決本題的關(guān)鍵．